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Lernaufgabe: Zentriwinkelsatz & Peripheriewinkelsatz

Autor:Moerkx

Begriffsdefinitionen

Im ganzen Applet ist M jeweils der Mittelpunkt eines Kreises und die restlichen Punkte liegen alle auf dem Kreis. Der Teil des Kreises zwischen A und B nennen wir den Kreisbogen AB (in der Abbildung blau markiert). Der Winkel heisst Zentriwinkel zum Kreisbogen AB, da er im Zentrum des Kreises liegt. Die Winkel und heissen Peripheriewinkel zum Kreisbogen AB, da sie in der Peripherie (= auf dem Rand) des Kreises liegen.

Ziel des Applets

Im Laufe dieses Applets werden wir die Zusammenhänge von Zentriwinkeln und Peripheriewinkeln erkunden und dabei werden wir die Aussagen des Zentriwinkelsatzes und des Peripheriewinkelsatzes herausfinden und beweisen.

Zentriwinkelsatz

Zuerst möchten wir herausfinden was der Zentriwinkelsatz aussagt. Im unteren Applet können die Punkte A und C auf dem Kreis verschoben werden. Mithilfe des Schiebereglers kann die Grösse des Winkels verändert werden.

Aufgabe 1a

Bewege die Punkte A und C, und verändere die Grösse des Winkels . Was kannst du über die Winkel und sagen?

Antwort überprüfen

Aufgabe 1b

Formuliere deine Erkenntnis aus 1a mit den Begriffen Zentriwinkel und Periepheriewinkel.

Antwort überprüfen
Das ist genau die Aussage des Zentriwinkelsatzes. Diese Aussage möchten wir im nächsten Schritt beweisen.

Aufgabe 2

Gehe den Beweis im nächsten Applet schrittweise durch und mache dir Notizen, wenn du etwas nicht verstehst.

Aufgabe 3a

Warum sind die Strecken MA, MB und MC gleich lang?

Antwort überprüfen

Aufgabe 3b

Welche Eigenschaft der Dreiecke AMC und BMA wird in Beweisschritt 7 benutzt?

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
Antwort überprüfen (3)

Aufgabe 3c

Welche Eigenschaft wird in den Beweisschritten 9 und 11 benutzt?

Antwort überprüfen

Peripheriewinkelsatz

Jetzt möchten wir herausfinden, was der Peripheriewinkelsatz aussagt. Im unteren Applet können die Punkte A, B, C, D und E auf dem Kreis verschoben werden

Aufgabe 4a

Fällt dir etwas auf, wenn du die Punkte verschiebts? Halte deine Vermutung(en) hier fest.

Im nächsten Applet können züsatzlich noch die Grössen der Winkel angezeigt werden.

Aufgabe 4b

Haben sich deine Vermutungen bewahrheitet oder wurden sie durch die Information der Winkelgrössen widerlegt?

Aufgabe 5

Wieso sind die Winkel , und gleich gross? Falls du Mühe hast, hat das nachfolgende Applet einen Hinweis.

Antwort überprüfen
Damit hast du den Peripheriewinkelsatz bereits bewiesen. Jetzt brauchen wir nur noch eine schöne Formulierung, welche keine frei gewählten Winkelbezeichnungen benutzt.

Aufgabe 6

Was sagt der Peripheriewinkelsatz aus?

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Super, jetzt hast du auch den Peripheriewinkelsatz gelernt.

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