Ort und Geschwindigkeit

Das Applet soll vermitteln, wie sich aus der Anschauung kleiner Ortsänderungen der Geschwindigkeitsbegriff ableiten lässt. Eine Punktmasse bewege sich auf einer gegebenen Bahn in Abhängigkeit von der Zeit . Für die Koordinaten und des Vektors ist bereits jeweils ein Beispiel vorgegeben. Der Anwender kann hier aber auch eigene Eingaben vornehmen. Das Intervall für die Zeit kann ebenfalls vorgegeben werden. Die Punktmasse befinde sich zur Zeit bei . Bewegt sie von nach , soll die Zeit vergehen. Die beiden Zeiten können mit den Schiebereglern variiert werden. Die Regler sind so verknüpft, dass stets die Bedingung gilt. Mit den Kontrollkästchen können verschiedene Ansichten ausgewählt werden. Zum Nachvollziehen der Schritte ist es geraten, die Kontrollkästchen nacheinander von oben nach unten an- und abzuwählen. Zugehörige formale Beziehungen werden unterhalb der Kontrollkästchen entsprechend eingeblendet.

Aus der Schule oder aus Anwendungen kennen wir für die Geschwindigkeit die Beziehung oder besser . Dabei wird vorausgesetzt, dass geradlinig verläuft oder wenigstens die Länge einer gekrümmten Bahn entspricht. Weiterhin muss der Betrag der Geschwindigkeit über den gesamten Zeitraum konstant sein. Das ist eine erhebliche Einschränkung. Bestenfalls kann der Quotient als eine Durchschnittsgeschwindigkeit aufgefasst werden. Wir wollen daher eine bessere Definition für die Geschwindigkeit finden. Diese soll den Bewegungszustand eines Körpers, repräsentiert durch eine Punktmasse, für einen gegebenen Ort und eine gegebene Bahn zu einem bestimmten Zeitpunkt exakt in Betrag und Richtung beschreiben. Natürlich muss die bisherige Definition im Rahmen ihrer Einschränkungen gültig bleiben. Den Weg zur Definition werde ich mit markierten Hinweisen auf das Applet versehen. Daher ist anzuraten, die Darstellung zu Beginn zurückzusetzen (Symbol oben rechts im Applet). 1. Schritt: Orte und Ortsvektoren: Die Punkte, die auf der Bahnkurve liegen, werden durch ihre Koordinaten beschrieben. Zu jedem dieser Punkte gibt es einen Vektor, der den Ursprung auf den Punkt der Bahn abbildet. Solch ein Vektor heißt Ortsvektor. Er hat die schöne Eigenschaft, dass seine Koordinaten mit denen des Punktes übereinstimmen. Im Applet werden die Punkte und und ihre zugehörigen Ortsvektoren dargestellt. Verändern Sie die Schieberegler und beobachten Sie die Lageänderung der beiden Punkte, um die Bewegung der Punktmasse nachvollziehen zu können. Zunächst seien die Ortsvektoren der beiden Punkte mit und gekennzeichnet. Da die Orte zeitabhängig sind, werden sie später aber durch und beschrieben. 2. Schritt: Die Ortsänderung nach der Zeitspanne : Schalten Sie für diesen Schritt das Kontrollkästchen Verschiebungsvektoren ein. Wir sehen nun zwei Vektorsummen: Nach wird sich die Punktmasse bei befinden. Also ist die Ortsänderung . Für ein leichteres Verständnis der nächsten Schritte zerlegen wir die Ortsänderung in die Summanden und , so dass ist. Um Platz zu sparen, benennt man in der Physik gern die Einheitsvektoren und . Im Raum sind das die Vektoren , und . Wir können unsere Zerlegung somit auch als schreiben. 3. Schritt: Die Durchschnittsgeschwindigkeit: Schalten Sie jetzt am besten die Darstellung der Ortsvektoren ab und wählen Gestreckte Verschiebungsvektoren aus. Wenden wir uns nun der Geschwindigkeit zu: Im ersten Abschnitt habe ich die Durchschnittsgeschwindigkeit erwähnt. Diese ist der Quotient aus der Ortsänderung und der dabei verstrichenen Zeit. Bisher kennen wir die Berechnung der Geschwindigkeit nur in Verwendung von Skalaren. Daher stellen wir uns vor, wir hätten den Massepunkt nicht entlang der Bahn, sondern erst parallel zur x- und dann parallel zur y-Achse bewegt. Im Applet entspricht das genau der Zerlegung von in und . Wir können somit einfach die Koordinaten und verwenden. Am nächsten der auf der Bahn zurückgelegten Strecke kommt die Länge der Hypotenuse des so gebildeten Dreiecks. Man sieht, es ist auch einfach möglich, direkt die Koordinaten von zu verwenden. zeigt zudem in die Richtung, in die man hätte von aus zu auf gerader Linie wandern können. Dividieren wir nun die Koordinaten von durch . Wir erhalten in der Darstellung neue Vektoren, die um den Faktor gegenüber den bisher betrachteten Vektoren gestreckt sind. Nach der Regel für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar darf nun auch der Quotient verwendet werden. Wir haben nun eine Möglichkeit gefunden, die Durchschnittsgeschwindigkeit für den direkten Weg von nach sowohl in ihrem Betrag als auch in ihrer Richtung anzugeben. 4. Schritt: Die Momentangeschwindigkeit am Punkt : Bisher haben wir in unseren Betrachtungen zwei Orte und herangezogen. Uns interessiert aber nur die Geschwindigkeit im Punkt als eine momentane Angabe des Bewegungszustandes. Um zum Ziel zu gelangen, bedienen wir uns hier den Überlegungen zum Differenzenquotienten und seinem Grenzwert aus der Analysis. Wir bringen durch die Wahl einer möglichst kleinen Zeitspanne den Punkt sehr nahe an heran. Sie können im Applet dazu alle Kontrollkästchen abwählen, den Schieberegler für weit nach links stellen und die Grafik so weit zoomen, dass die beiden Ortspunkte gerade noch sichtbar sind. Sie werden feststellen, dass die Bahn nicht mehr sichtbar gekrümmt ist. Außerdem kann man sich vorstellen, dass sich auch der Betrag der Geschwindigkeit für diesen kurzen Zeitraum kaum geändert haben wird. Setzen Sie nun die Grafik zurück und wählen nur noch die beiden letzten Kontrollkästchen aus. Wir können nun also davon ausgehen, dass die im 3. Schritt gefundene Durchschnittsgeschwindigkeit schon recht gut dem gesuchten Ergebnis entspricht. Für das exakte Ergebnis lassen wir nun die Zeitspanne gegen null streben. Für die Koordinaten der achsparallelen Komponenten erhalten wir die Grenzwerte und . Wir sehen, dass wir aus diesen beiden Grenzwerten den Vektor bilden können. Das heißt also, die Ableitung eines Weges nach der Zeit geschieht, indem man die Ableitung der Koordinaten nach der Zeit bildet. In der Grafik können Sie den Grenzübergang nachvollziehen, indem sie den Regler für die Zeitspanne allmählich nach links bewegen und sehen, wie sich auch die Zahlenwerte aus Schritt 3 denen der berechneten Geschwindigkeit sowohl im Betrag als auch in der Richtung annähern. In der Physik verwenden wir zur Vereinfachung bei Ableitungen nach der Zeit die Bezeichnung

,

wobei ein allgemeiner Ortsvektor zu einem Punkt im Raum ist, im Applet wird verwendet, um eine Verwechslung mit den Koordinaten zu vermeiden. Die Lösung des Problems ist nun gefunden: man bildet bei gegebener Bahnkurve die Ableitungen für jede der Koordinaten nach der Zeit und erhält somit für jeden Punkt der Bahn die Geschwindigkeit sowohl in Betrag als auch der Richtung. Wir haben die Überlegungen in der Ebene durchgeführt. Die Erweiterung auf den dreidimensionalen Raum oder gar Räume höherer Dimension gilt analog. Jetzt steht nur noch die Überprüfung der Forderung aus, dass die "alte" Definition in ihren Grenzen immer noch gültig ist. Geben Sie dazu als Terme für die beiden Bahnkoordinaten lineare Ausdrücke ein, z.B. und . Sie werden sehen, dass die Zahlenwerte aus Schritt 3 unabhängig von der Zeitspanne \Delta t immer gleich den Grenzwerten aus Schritt 4 sind. Sie können, eine gerade Kurve und ein konstanter Betrag der Geschwindigkeit vorausgesetzt, nach wie vor mit der Formel berechnet werden.