Hyperbolisch: Das quadratische Vektorfeld
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.
Das Applet zeigt die Konstruktion konfokaler Kegelschnitte in der Hyperbolischen Ebene. Die Hyperbolischen Ebene wird dargestellt durch das Kreisscheiben-Modell von Beltrami und F. Klein: PUNKTE sind die Punkte innerhalb eines absoluten Kreises, im Applet ist es der Einheitskreis in . GERADEN sind die innerhalb des Kreises verlaufenden Geradenstücke (Sehnen). Zur Konstruktion von MITTELPUNKTEN, MITTELSENKRECHTEN, KREISEN und SPIEGELUNGEN: siehe die Aktivität zuvor. WINKELHALBIERENDE lassen sich über SPIEGELUNGEN definieren: eine WINKELHALBIERENDE zweier sich schneidenden GERADEN ist eine GERADE, an der GESPIEGELT die beiden GERADEN vertauscht werden. Konfokale KEGELSCHNITTE lassen sich in der Hyperbolischen Ebene exakt so definieren, wie dies in der euklidischen Ebene möglich ist: gegeben sind 2 verschiedene BRENNPUNKTE f1, f2. Der BRENNPUNKT f2 wird ausgezeichnet. LEITKREISE sind die KREISE um f1, im vorliegenden Modell sind dies keine Kreise in ! Jedem LEITKREIS cL ist ein KEGELSCHNITT eindeutig wie folgt zugeordnet: zu den PUNKTEN q auf cL konstruiere man die MITTELSENKRECHTE t der Strecke qf2. t ist TANGENTE an den gesuchten KEGELSCHNITT. Der BRENNSTRAHL qf1 schneidet die TANGENTE t in dem PUNKT p des KEGELSCHNITTS. Die TANGENTE t ist WINKELHALBIERENDE der beiden BRENNSTRAHLEN f1p und f2p. Für Ellipsen ist diese Konstruktion die aus der euklidischen Geometrie bekannte Gärtner-Konstruktion, die Abstande sind natürlich hyperbolisch zu messen! ELLIPSEN liefern die jenigen LEITKREISE, die beide BRENNPUNKTE enthalten: man bewege dazu den LEITKREISPUNKT qL. Die Kurven oben sind als Ortskurven "konstruiert": Wenn q sich auf dem LEITKREIS bewegt, bewegt sich der Schnitt-Punkt p auf der Ortskurve. Dass es sich tatsächlich um einen Kegelschnitt handelt, läßt sich nicht mit Hilfe der BRENNPUNKTE direkt nachprüfen: wir haben 4 PUNKTE auf der Kurve und eine TANGENTE in einem der PUNKTE konstruiert. Der hierdurch eindeutig festgelegte Kegelschnitt stimmt mit der Ortskurve überein!Warum "quadratisches Vektorfeld"?
Der Situation zugrunde liegt ein quadratisches Vektorfeld auf der Riemannschen Zahlenkugel
mit 4 auf einem Kreis liegenden Brennpunkten. Dazu gehören 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise,
einer davon imaginär. Wählt man einen der reellen Symmetrie-Kreise, auf welchem die Brennpunkte n i c h t
liegen als Äquator und projiziert man die Möbius-Kugel senkrecht auf die Äquatorebene, so ergibt sich die oben gezeigte
hyperbolische Beltrami-Klein-Ebene.
Die konfokalen bizirkularen Quartiken auf der Möbiusebene werden projiziert auf konfokale Kegelschnitte in der
Hyperbolischen Ebene.
Bemerkung: Würde man das quadratische Vektorfeld auf der Kugel von dem im Inneren der Möbius-Kugel liegenden
Symmetrie-Punkt auf die polare Elliptische Ebene projizieren, erhielte man ganz analog konfokale Kegelschnitte
in der Elliptischen Ebene. Die Konstruktionen wären dann elliptisch, aber sonst identisch!