Tornillo de Steinbach, helicoide y catenoide
Transformando un helicoide en un tornillo
Un helicoide se genera mediante un segmento que gira alrededor de un eje, a la vez que se desliza en la dirección del eje.
Podemos describirlo, en ecuaciones paramétricas, como
Donde los factores coseno y seno hacen que el segmento vaya girando alrededor del eje z.
Si a la vez que generamos el heliciode, vamos aplastando los extremos de la superficie, concretamente multiplicando la componente z por , obtenemos una superficie con forma de tornillo: el tornillo de Steinbach. Para tomar solo la parte parecida al tornillo, restringimos .
Las ecuaciones serían
Transformamos un helicoide en un tornillo
Transformando un helicoide en una catenoide
Pegando los extremos del helicoide, podemos transformarlo en una catenoide, sin necesidad de estirarlo en el proceso, es decir, a través de una transformación isométrica. Además, en este proceso, todas las superficies intermedias pueden conseguirse de curvatura media nula, esto es, superficies mínimas.
Una parametrización de la catenoide, obtenida como superficie de revolución a partir de la catenaria, es
Transformamos un helicoide en una catenoide
Ecuaciones de la transformación isométrica helicoide-catenaria
La catenoide se obtiene como superficie de revolución a partir de la catenaria, y es la única superficie mínima de revolución (aparte del plano). Además, fue la primera superficie no trivial que se demostró que era mínima, por Euler en 1744.
Para transformar el helicoide en catenoide de forma isométrica, podemos utilizar las siguientes ecuaciones (para el parámetro k de transformación, entre 0 y 2π).
Los valores de u se tomarán según la longitud que queramos para el segmento que genera el helicoide. Por ejemplo, para que resulte igual que en la actividad anterior, de longitud 8 (el parámetro valoraba entre -4 y 4), tomaremos , pues .
(*) Ref. Catenoide, en wikipedia.