Definition: Grenzwert
Einführung in Grenzwerte
Du kennst bereits ganzrationale Funktionen (linear, quadratisch, kubisch, usw.), Potenzfunktionen sowie echt gebrochen- und unecht gebrochenrationale Funktionen.
Das Globalverhalten von ganzrationalen Funktionen und Potenzfunktionen ist ebenfalls bekannt.
Doch wie bestimmt man das Globalverhalten einer echt gebrochen- oder unecht gebrochenrationalen Funktion?
Zur Erinnerung:
Ist der Grad des Nenners größer als der Grad des Zählers, so heißt die Funktion echt gebrochen.
Beispiel:
echt gebrochene Funktion:
Ist hingegen der Grad des Nenners kleiner oder gleich dem Grad des Zählers, so heißt die Funktion unecht gebrochen.
Beispiel:
unecht gebrochene Funktion:
Das Globalverhalten dieser Funktionen kannst du am Ende der Lernumgebung mithilfe von Rechenregeln zu Grenzwerten von Folgen bestimmen. Hierzu muss jedoch erst der Übergang zu den Folgen geschaffen werden.
Wiederhole die Definition einer Folge und betrachte die untenstehenden Beispiele.
Nun betrachten wir den Grenzwert von Folgen, dazu bedarf es dem Begriff des Limes.
Schaue dir nun das folgende Youtube-Video von Daniel Jung zu Grenzwerten an oder überspringe diese Einheit, falls Du Dich mit den Begriffen Grenzwert und Limes von Funktionen vertraut fühlst.
Jetzt hast du wiederholt, was Folgen und Grenzwerte von Funktionen sind.
Das Konzept der Grenzwerte lässt sich genau so gut auf Folgen übertragen, denn wie Du bereits weißt: eine Folge ist eine Funktion (mit Definitionsbereich ).
Ähnlich zu dem Beispiel im Video:
Für die Folge , gilt: .
Um nun das Globalverhalten der eingangs vorgestellten Funktionen und zu bestimmen, muss der Übergang zu den Folgen geschaffen werden.
Statt den Funktionen mit und mit betrachten wir nunmehr die beiden Folgen mit und mit .
Von diesen kannst du die Grenzwerte und leicht (mithilfe von Rechenregeln) bestimmen.
Nun sind die Grundlagen geschaffen, um Grenzwerte von Folgen zu bestimmen. Bearbeite die nachfolgenden Aktivitäten. Dort wiederholst Du die Begriffe "Konvergenz" und "Divergenz" von Folgen kennen und anschließend geht es über zu den Rechenregeln von Folgen.