Pythagoras
Pythagoras
De vroege Griekse filosofen of presocraten (600 - 400 v.Chr.) liggen aan de basis van de westerse filosofie en wetenschappen. Fundamenteel is de plaats die getallen en verhoudingen van getallen innemen in hun denken. 'Kosmos' betekent orde, en die wordt gerealiseerd door verhoudingen van natuurlijke getallen. Deze ideeën vinden heel uitgesproken terug bij Pythagoras (ca. 570 v.Chr. - ca. 500 v.Chr.)
De pythagoreeërs zien in de beginselen van de wiskunde de beginselen van alle getallen. Getallen hebben symbolische betekenissen op zich en in hun relaties tot elkaar.
Zo wordt bv. het getal 10 voorgesteld als een driehoeksgetal. Het heeft de vorm van een viertal (tetraktys).
Het getal10, een hogere vorm voor de eenheid, is in deze vorm de combinatie van de eerste vier getallen en symbool voor de opbouw van de kosmos.
1 vormt de basis voor een punt, 2 voor een lijn, 3 voor een plat vlak en 4 voor de ruimte.
Tegelijk stemmen de onderlinge verhoudingen overeen met de frequentieverhoudingen van de harmonische samenklanken in de muziek:
Het getal10, een hogere vorm voor de eenheid, is in deze vorm de combinatie van de eerste vier getallen en symbool voor de opbouw van de kosmos.
1 vormt de basis voor een punt, 2 voor een lijn, 3 voor een plat vlak en 4 voor de ruimte.
Tegelijk stemmen de onderlinge verhoudingen overeen met de frequentieverhoudingen van de harmonische samenklanken in de muziek:
- octaaf 1 : 2
- kwint 2 : 3
- kwart 3 : 4
verhoudingen
- De basis van de esthetische proportieleer ligt in de verhouding van twee getallen. Bij de verhouding a : b van twee getallen is meteen een derde getal in het spel: de waarde van de verhouding.
- Twee verhoudingen kunnen aan elkaar gelijk zijn, a : b :: c : d (bv. 4 : 2 :: 10 : 5). Wij noemen dat een evenredigheid, de Grieken een analogie.
- Een bijzonder geval is a : b :: b : c, met een middenterm die aan beide verhoudingen deelneemt. Meetkundig betekent het dat je met enkel die middenterm eenzelfde oppervlak kan vormen als met de beide buitentermen. Immers komt overeen met . Bijvoorbeeld 4 : 6 :: 6 : 9 betekent en komt overeen met . Het midden 6 verbindt de getallen 4 en 9 en een vierkant van 6 op 6 is even groot als een rechthoek van 4 op 9.
Plato
Plato zegt dat twee zaken altijd door een derde moeten verbonden en dat de mooiste verbinding die is die een verbinding maakt tussen zichzelf en een derde.
Hij schrijft: "Omdat de aarde niet plat is kunnen we niet met een middenterm volstaan en zijn er twee nodig" en verbindt zo de fysische elementen tot de dubbele middelevenredigheid vuur : lucht :: lucht : water :: water : aarde
irrationaliteit
Illustratief is de wijdverspreide legende dat Pythagoras één van zijn volgelingen, liet verdrinken omdat hij de structuur van het twaalfvlak en de inschrijving in een bol (en daarmee de irationaliteit) openbaarde. Anderen vernoemen de irrationale verhouding tussen de diagonaal en de zijde van een vierkant.
PS: De diagonaal van een vierkant met zijde 1 is , wat inderdaad een irrationaal getal is.
Maar dat 'probleem' werd onder de mat geveegd met volgende uitspraak:
"De diagonaal van een gegeven vierkant is gelijk aan de zijde van een vierkant dat dubbel zo groot is".
Pappos van Alexandrië suggereert een minder letterlijke interpretatie: "Wie zich met irrationalia bezighoudt, zal er in verdrinken."
Waar of niet waar, in de pythagoreïsche gedachtewereld is geen plaats voor irrationale getallen.
Maar hoe zit het dan met het Parthenon (uit ca 460 v.Chr.)?
Dat ontdek je op de pagina het Parthenon in cijfers en het Griekse wiskundige denken.