إثبات أن مجموع الزوايا الداخلية بالمثلث = نصف مجموع الزوايا حول نقطة
الشرح
رابط الفيديو https://youtu.be/U3L8jWBXKQA
https://youtu.be/RH_bGZiZGSk
إثبات أن التغيير في تقسيم الأرض إلى 360 درجة لا يفند كرويتها كما يدعي المسطحين
وذلك بإثبات العلاقة بين مجموع الزوايا حول نقطة ومجموع زوايا المثلث الداخلية
المعطيات :
مجـ زوايا الـ ∆ الأكبر = قياس (هـ) + قياس (و) + قياس (ي)
ق (هـ) = ق (هـ₁) + ق (هـ₂) ؛ ق (و) = ق (و₁) + ق (و₂) ؛ ق (ي) = ق (ي₁) + ق (ي₂)
مجـ زوايا الـ ∆ الصغير 1 = قياس (هـ₁) + قياس (و₁) + قياس (ل)
مجـ زوايا الـ ∆ الصغير 2 = قياس (و₂) + قياس (ي₁) + قياس (م)
مجـ زوايا الـ ∆ الصغير 3 = قياس (ي₂) + قياس (هـ₂) + قياس (ن)
المطلوب :
إثبات أنَّ مجموع الزوايا حول نقطة = ضعف مجموع زوايا المثلث
العمل:
رسم خطين مستقيمين ، الأول يوازي أحد أضلاع المثلث الأكبر ويتقاطع مع رأس المثلث المقابل لهذا الضلع ،
والآخر يوازي أحد أضلاع مثلث صغير ويتقاطع مع رأس المثلث المقابل لهذا الضلع.
البرهان :
∵ مجـ زوايا الـ ∆∆∆ الصغيرة =
ق (هـ₁) + ق (و₁) + ق (ل) + ق (و₂) + ق (ي₁) + ق (م) + ق (ي₂) + ق (هـ₂) + ق (ن)
∴ بإعادة الترتيب، مجـ زوايا الـ ∆∆∆ الصغيرة =
ق (هـ₁) + ق (هـ₂) + ق (و₁) + ق (و₂) + ق (ي₁) + ق (ي₂) + ق (ل) + ق (م) + ق (ن)
بالتعويض عن [ ق (هـ₁) + ق (هـ₂) ] بـ ق (هـ) ؛
[ ق (و₁) + ق (و₂) ] بـ ق (و) ؛
[ ق (ي₁) + ق (ي₂)] بـ ق (ي)
∴ مجـ زوايا الـ ∆∆∆ الصغيرة = ق (هـ) + ق (و) + ق (ي) + ق (ل) + ق (م) + ق (ن)
∵ بالتعويض عن [ ق (هـ) + ق (و) + ق (ي) ] بـ [ مجـ زوايا الـ ∆ الأكبر ]
∴ مجـ زوايا الـ ∆∆∆ الصغيرة = [ مجـ زوايا الـ ∆ الأكبر ] + ق (ل) + ق (م) + ق (ن)
∴ ق (ل) + ق (م) + ق (ن) = مجـ زوايا الـ ∆∆∆ الصغيرة - [ مجـ زوايا الـ ∆ الأكبر ]
∵ الخط المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث الأكبر يكوِّن زوايتين مجاورتين للزاوية المقابلة لهذا الضلع وكل منهما تساوي
نظيرتها بالمثلث بالتبادل ، ويتحقق الشيء نفسه بالمثلث الصغير مع اختلاف قيم زواياه وأضلاعه ،
∴ مجموع زوايا المثلث الداخلية = مقدار زاوية مسقيمة سواءًا كانت الزاوية المقابلة لذلك الضلع قائمةً أو حادةً أو منفرجةً
∴ مجموع زوايا أي مثلث = مقدارًا ثابتًا،
∴ وبالتعويض عن مجموع زوايا المثلث الواحد بالرمز مجـ زوايا ∆، تصبح العلاقة الأخيرة كالتالي:
ق (ل) + ق (م) + ق (ن) = 3 × مجـ زوايا ∆ - 1 × مجـ زوايا ∆ = 2 × مجـ زوايا ∆
∵ ق (ل) + ق (م) + ق (ن) = مجموع الزوايا حول نقطة المركز
∴ مجموع الزوايا حول نقطة = ضعف مجموع زوايا المثلث #
إثبات أن التغيير في تقسيم الأرض إلى 360 درجة لا يفند كرويتها كما يدعي المسطحين
وذلك بإثبات العلاقة بين مجموع الزوايا حول نقطة ومجموع زوايا المثلث الداخلية
المعطيات :