Ibero 2022 P1
Dado es un triángulo equilátero con circuncentro . Sea un punto sobre el arco menor de su circunferencia tal que . La bisectriz perpendicular de se encuentra con la circunferencia circunscrita en , con sobre el arco menor . Las líneas y se encuentran en . Demostrar que .
Solución 1
La idea es mostrar que es perpendicular a . Para ello, se busca demostrar las siguientes afirmaciones:
1) El cuadrilátero es rombo.
2) El triángulo equilátero.
3) El cuadrilátero es cíclico.
OFDE paralelogramo
Para ver que el es equilátero, se deben identificar dos cuadriláteros cíclicos.
Cuadrilátero es cíclico con , por lo que: .
De manera similar, el cuadrilátero es cíclico con , por lo que: .
Triángulo ECP equilátero
Traza PH y PG, notar que D circuncentro triángulo PEF
Por demostrar que los triángulos PEH y PGC son congruentes
Se tiene la congruencia de triángulos ya que los ángulos y por ser es equilátero, además se tiene que es circuncentro del triángulo, por lo que al ser altura, se tiene que .
Solución 2
Mostrar que es ortocentro de
En primer lugar, probar que es paralelogramo. Para ello, verificar que y
Trazar AF y EP
Ángulo FPE es 60
Definir y los puntos de corte al prolongar los trazos y hasta cortar en y , respectivamente.
Resta comprobar que:
Triángulos PBG y PHC son rectángulos
Solución 3
Prolongar y hasta cortar a y en y , respectivamente.
Como es cíclico, basta mostrar que: