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Hyperbolische, elliptische Kreisbüschel, Loxodrome

Autor:Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des geogebra-books Moebiusebene.

Die Geraden durch den Ursprung der Gausssen Zahlenebene bilden ein elliptisches "Kreisbüschel", die Büschelpunkte sind 0 und . Die zu den Ursprungsgeraden orthogonalen konzentrischen Kreise bilden ein hyperbolisches Kreisbüschel mit denselben Grundpunkten. Isogonaltrajektorien sind logarithmische Spiralen um 0 und . Die Kurvenscharen erhält man mit der Funktion : zB. sind für die Kurven die Ursprungsgeraden, und für die Kurven die konzentrischen Kreise um den Ursprung. Für nicht-reelles erhält man für die logarithmischen Spiralen , welche die Ursprungsgeraden unter dem Winkel schneiden. In geToolbar Imagegebra lauten die Schargleichungen:
  • , ist die Schrittweite
Für die Kreise ist , im hyperbolischen Falle sind die Parameter und vertauscht. Im logarithmischen Falle wirken sich die Parameter auf die Streckung wie auf den Drehwinkel aus, die Wirkung ist daher etwas unübersichtlich! Die Kreise durch zwei beliebige Punkte und der Möbiusebene erzeugen ein elliptisches Kreisbüschel, die dazu orthogonalen Kreise bilden ein hyperbolisches Kreisbüschel. Isogonaltrajektorien dazu dind sie Loxodrome um die beiden Grundpunkte. Im Applet unten werden die orhogonalen Kreis- bzw. Loxodromenscharen mit angezeigt. In geToolbar Imagegebra lauten die Schargleichungen für die Loxodrome wie folgt:
Begründung: Die Möbiustransformation bildet auf 0 und auf ab. Die inverse Abbildung ist . Die logarithmischen Kurven werden also durch auf die Loxodrome um und abgebildet.

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