Nullstellen (3): Substitution
Definition: Als Nullstellen einer Funktion f(x) werden die x-Werte der Schnittpunkte des Graphen zu f mit der x-Achse bezeichnet, also die x, für die die Gleichung f(x)=0 erfüllt ist.
Für die meisten Formen von Polynomfunktionen lassen sich Nullstellen nicht unmittelbar berechnen.
Im Folgenden werden für einige spezielle Formen Verfahren beschrieben.
3. Substitution
Durch das Verfahren der Substitution lassen sich ganz spezielle Polynomfunktionen bestimmen, nämlich solche, bei denen die Variable x nur in Potenzen und (neben einem additiven Glied +c) auftritt. Ein Spezialfall sind die sogenannten biquadratischen Gleichungen der Form
.
Die zugehörige Graph kann dabei bis zu vier Nullstellen besitzen. Das Besondere an biquadratischen Gleichungen ist, dass sie stets symmetrisch zur y-Achse verlaufen (nur gerade Exponenten). Daraus folgt, dass eine biquadratische Gleichung entweder vier, zwei oder gar keine Nullstellen besitzt.
Für die Bestimmung der Nullstellen wird der Ausdruck durch eine andere Variable, z.b ersetzt (substituiert).
Wegen z2=x4 wird aus der Gleichung 4. Grades eine quadratische Gleichung für z: az2+cz+e=0.
Dann kann die wegen entstehende quadratische Gleichung in nach einem bekannten Verfahren (z.B. "p-q-Formel") gelöst werden.
Am Ende muss man dran denken, die Variable wieder durch zu ersetzen (resubstituieren).
Dadurch vergrößert sich i.d.R. die Anzahl der Lösungen.
Beispiel 1:
Substituiere
"p-q-Formel" in z
Resubstituiere
Die biquadratische Funktion hat also vier Nullstellen.
Beispiel 2:
|:2
Substitution
"p-q-Formel"
Resubsitution
Da sich aus keine Lösungen ergeben, hat die Polynomfunktion nur zwei Nullstellen.
Beispiel 3:
Bei dieser Struktur, wo die mittlere Potenz gerade die Hälfte der größten Potenz beträgt, lässt sich ebenfalls die Substitution anwenden. Allerdings verläuft der zugehörige Graph wegen der Mischung von geraden und ungeraden Exponenten nicht mehr symmetrisch.
Resubstituiere
Anmerkung: Im Gegensatz zu Quadratwurzeln besitzen Kubikgleichungen immer eindeutige Lösungen. Es lassen sich Kubikwurzeln auch aus negativen Zahlen ziehen, also ist z.B. , denn es gilt:.
Im obigen Beispiel 3 besitzt der Graph also nur zwei Nullstellen, eine exakt bei 2, die andere etwa bei -1,26.
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