Peter, der korrekte Autofahrer
Von der Beschreibung des Ortes zur Änderung des Ortes
Peter rühmt sich damit, ein besonders korrekter Autofahrer zu sein. Als er in den Sommerferien nach Belgien fährt, fällt ihm als erstes auf, dass in Belgien (anders als in Deutschland) auch auf den Autobahnen ein Tempolimit von 120km/h herrscht. Nach einer Pause in Lüttich fährt Peter die kürzeste Route zum 240km entfernten De Panne (s. Abb.1). Am Ziel schaut Peter auf die Uhr: er hat nur 2 Stunden gebraucht! War Peter wirklich so korrekt, wie er immer sagt?
Vom Ort zur Geschwindigkeit
Auf Abb. 2 siehst du die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit zur Zeit aufgetragen. Punkt P(1|120) bedeutet zum Beispiel, dass Peter nach 1 Stunde 120km gefahren ist.
Aufgabe 1: Berechne Peters Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke.
Abb. 2.1 Der Fahrtenschreiber:
Weitere Durchschnittsgeschwindigkeiten
Du hast jetzt die durchschnittliche Geschwindigkeit über den gesamten Zeitraum berechnet. Hier wurde die Durchschnittsgeschwindigkeit "durch ein Steigungsdreieck" bestimmt, dessen Steigung sich durch die Formel berechnen lässt!
Um die Geschwindigkeit zu berechnen, wird ja die Änderung des Ortes durch die Änderung der Zeit dividiert.
Aufgabe 2:
Schau dir noch einmal den Graphen an und überlege, ob Peter wirklich so ein korrekter Autofahrer ist. Lasse dir dazu die Lösung anzeigen und vergleiche dabei den Graphen mit der entstandenen Sekante. Begründe deine Entscheidung.
Fertig?
Gut, dann nutze jetzt das nächste Applet, um abschnittweise zu untersuchen, wie schnell Peter zwischendurch war. Verwende dafür kleinere Steigungsdreiecke. Variiere durch die beiden Schieberegler die zu untersuchenden Abschnitte.
Aufgabe 3: Über den Knopf Lösung einblenden kannst du deine Lösungen kontrollieren, NACHDEM du mind. drei unterschiedliche durchschnittliche Geschwindigkeiten selbst gerechnet hast! Gib dabei das Intervall [x1;x2] an.
Mit den Pfeilen rechts oben kannst du das Applet immer wieder in den Anfangszustand zurückversetzen, falls du zu viel gezoomt / verschoben hast.
Abb. 2.2 Genauere Untersuchung von Peters Fahrt
Schlussfolgerungen
Du solltest nun erfasst haben:
- Die durchschnittliche Steigung (hier durchschnittliche Geschwindigkeit) berechnet man durch die Steigungsformel ....
- Mit der Steigungsformel berechnest du die mittlere Änderungsrate im Intervall [x1; x2].
- Diese mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Sekante durch die zwei Punkte Q und P.
- Im Fall von Peter hast du die Durchschnittsgeschwindigkeit untersucht!
- Du hast sie mithilfe des Differenzenquotienten berechnet. Der Name leitet sich aus der Formel her. Es wird der Quotient (=das Ergebnis einer Geteiltaufgabe / eines Bruches) von Differenzen (=Ergebnis einer Minusaufgabe) gebildet!
- Der Differenzenquotient berechnet nur die mittlere Änderungsrate, nicht die exakte / momentane Änderungsrate!
Momentane Änderungsrate
Aufgabe 3: Wie berechnet der Tacho des Autos eigentlich die Geschwindigkeit? Berechne die Änderungsrate (hier: die Geschwindigkeit) für eine bestimmte Stelle (also an einem bestimmten Zeitpunkt x). Du kannst dazu den untenstehenden Fahrtenschreiber nutzen. Überprüfe dein Ergebnis.