Grenzverhalten gebrochenrationaler Funktionen
Unterscheidung von drei Fällen:
Fall 1: Wenn der Grad der Nennerfunktion größer ist, als der Grad der Zählerfunktion, dann spricht man von einer echt gebrochenen Funktion.
Geht oder , dann geht der Funktionswert einer echt gebrochenrationalen Funktion gegen Null, d.h. Der Funktionsgraf schmiegt sich der Abszisse an.
Fall 2: Ist der Grad der Nennerfunktion gleich dem Grad der Zählerfunktion, dann schmiegt sich der Funktionsgraf einer waagerechten Asymptote an, d.h. Einer waagerechten Linie in Koordinatensystem, die nicht die Abszisse ist.
Fall 3: Wenn der Grad der Nennerfunktion kleiner ist, als der Grad der Zählerfunktion, dann spricht man von einer unecht gebrochenen Funktion. Unecht gebrochene Funktionen nähern sich für große Beträge von einer ganzrationalen Funktion an. So eine Näherungsfunktion nennt man Asymptotenfunktion.
Wenn in diesem Fall das Grenzverhalten nur näherungsweise bestimmt werden soll, dann reicht es, von der Zähler- und der Nennerfunktion in Polynomdarstellung nur die Terme mit den jeweils höchsten Exponenten in anzusehen.
Beispiel:
Hier gilt:
Die Assymptotenfunktion von lautet also näherungsweise
InProbieren Sie alle Fälle aus, in dem Sie sich Funktionen für die Fälle 1 bis 3 überlegen und sich in Geogebra deren Funktionsgrafen ansehen.
Im folgenden Geogebra-Applet können Sie Nullstellen und Polstellen von Kommata getrennt in die Eingabefelder eingeben. Wenn Sie mehrere Male den gleichen Wert eingeben, erhalten Sie mehrfache Nullstellen in den Zähler- und Nennerpolynomen: