Steigung eines Graphen untersuchen
Bisher wurde der Wert der Ableitung einer Funktion immer nur an einer Stelle bestimmt - will man mehrere Werte bestimmen, so muss man stets dasselbe Verfahren durchführen.
Die folgenden Arbeitsaufträge helfen dir dabei dieses Verfahren zu optimieren und so viel Rechenzeit zu einzusparen.
Arbeitsauftrag 1: Einsatz des Geodreiecks
Die grüne Strecke zeigt den Ausschnitt einer Tangenten an den Graphen im grünen Punkt.
- Fasse den grünen Punkt und verschiebe ihn entlang des Graphen. Betrachte dabei jeweils den Verlauf der Tangenten.
- Blende das Geodreieck ein - es soll dir helfen zu verstehen, wie du es analog in deinem Heft benutzen musst. Verschiebe anschließend abermals den grünen Punkt und mache dich mit der Benutzung des Geodreiecks an verschiedenen Stellen des Graphen vertraut.
- Schätze die Steigung im entsprechenden grünen Punkt ab. Lasse dir dann das zugehörige Steigungsdreieck der Tangenten anzeigen und vergleiche ein Ergebnis.
Arbeitsauftrag 2: mehrere Werte der Steigung ermitteln
Das Applet wird nun um ein weiteres Koordinatensystem nach unten erweitert.
- Verfahre wie in Arbeitsauftrag 1 - übertrage aber zusätzlich den jeweiligen Wert der Steigung durch den Button in das untere Koordinatensystem. Sobald du einige Werte übertragen hast, betrachte das untere Koordinatensystem - fällt dir bei den roten Punkten eine Regelmäßigkeit auf?
- Verändere den Funktionsterm und untersuche erneut.
Arbeitsauftrag 3: Zuordnung x-Wert zu genau einem Steigungswert
Schalte die "Spur der Steigungswerte" an, bewege den grünen Punkt und betrachte den Verlauf der roten Spur der Steigungswerte der Tangente.
Verfahre ebenso mit den Funktionen , und .
Entdecker:
In den Applets hast du die roten Spur auf Regelmäßigkeiten untersucht - findest du auch die Funktionsgleichung von , die den Verlauf der roten Spur der Steigungswerte beschreibt?
Arbeitsauftrag 4: graphisches Ableiten
Wähle nacheinander den blauen BUTTON Funktion 1-4, aktiviere Geodreieck, Steigungsdreieck und die Spur und lasse den grünen Punkt auf dem Graphen wandern.
Vergleiche den Graphen von f oben und den Graphen der Tangentensteigungen unten - finde Kriterien zum Zeichnen des roten Graphen aus dem oberen Graphen von .
Arbeitsauftrag 5: Ableiten rechnerisch
Schalte die "Spur der Steigungswerte" an, bewege den grünen Punkt und betrachte den Verlauf der roten Spur der Steigungswerte der Tangente sowie die Gleichung der Funktion , deren Graph diesen Verlauf beschreibt.
Wiederhole die Vorgehensweise mit den Funktionen , und und betrachte jeweils den roten Graphen sowie die Gleichung der Ableitungsfunktion.