ES 2.24
- Autore:
- Alice Cattani
Given two circles Γ, Γ′, with centers O, O′ construct a line tangent to both circles.
PROCEDURA:
Siano Γ e Γ′ due circonferenze di centro O e O' e raggio OA e O'A rispettivamente. Senza perdita di generalità possiamo supporre che OA O'A' (in caso contrario la costruzione della retta tangente a Γ e Γ' non funziona ma basta invertire le circonferenze).
- Traccio la retta OO' passante per i due centri delle circonferenze.
- Traccio il raggio OA della circonferenza Γ.
- Traccio la circonferenza di centro O e raggio O'A' (raggio di Γ′). Sia B il suo punto di intersezione con OA.
- Traccio la circonferenza di centro O e raggio BA (BA = OA-O'A').
- Traccio la tangente alla circonferenza del punto 4 passante per O'. Per farlo uso l'esercizio 2.8 dove prima si trova il punto C e poi si traccia la retta O'C che risulta essere la tangente alla circonferenza considerata (6 passi).
- Traccio la retta passante per O e C. Sia D il suo punto di intersezione con la circonferenza Γ.
- Traccio la parallela alla retta O'C passante per D (esercizio 2.6 - 3 passi). Essa è la retta cercata perchè è tangente sia a Γ che a Γ'. Chiamiamo tale retta l e sia E il suo punto di intersezione con Γ′.
- Dato che O'C è la tangente alla circonferenza di centro O e raggio BA=OA-O'A' allora si ha che O'C è perpendicolare alla retta CO con DCO. Ma la retta l è parallela a O'C per costruzione, quindi abbiamo che è perpendicolare DO e in particolare, essendo DΓ, è perpendicolare al raggio di Γ. Dunque la retta l è tangente a Γ in D.
- Per costruzione DOOA perchè raggi di Γ e quindi CDOA-BA=O'A' e O'EO'A' perchè raggi di Γ′. Risulta quindi che CDO'E. Inoltre la retta CO' è parallela alla retta l per costruzione e quindi otteniamo che CD è parallela alla retta O'E. Per costruzione CD è perpendicolare a CO' e quindi O'E è perpendicolare alla retta l. Dunque la retta l è tangente a Γ' in E.