Desarrollo en serie de Fourier
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
El desarrollo en serie de Fourier aproxima una función periódica por una serie de funciones seno y coseno cuyos períodos son divisores del de la función, sus armónicos, con los coeficientes que se muestran en el applet. Hay formulaciones distintas, una de las más sencillas quizás sea la de Dirichlet:
"Si f(x) es continua a trozos, monótona a trozos y acotada en un intervalo [a, b], existiendo además los límites laterales en los puntos de discontinuidad y en los extremos del intervalo, el desarrollo en serie de Fourier converge a f(x) en los puntos de continuidad de f, y a ½(f(x-0)+f(x+0)) en las discontinuidades. En los extremos del intervalo converge igualmente a la media de los límites laterales correspondientes".
Si la función no es periódica, se toma su definición en un intervalo y se extiende de forma periódica.
En las cajas de entrada a y b deben introducirse los extremos a y b del intervalo, a < b, y en el de f(x) su definición en este intervalo, para lo que deben emplearse los valores introducidos previamente.
El deslizador n nos permite varia el número de términos del desarrollo, hasta n = 20. Para valores grandes de n puede atascarse el applet. En las listas desplegables, para n ≥ 1, pueden verse los coeficientes de los senos y cosenos correspondientes a cada armónico.
Obsérvese que en las proximidades de los puntos de discontinuidad la serie de Fourier oscila fuertemente sobrepasando los valores de los límites de f(x) en esos puntos, lo que se conoce como fenómeno de Gibbs. El exceso de variación de la serie respecto a la longitud del salto es de aproximadamente un 18% (constante de Gibbs= 2/π SenoIntegral(π)).
Jean-Baptiste Joseph Fourierh (Auxerre, Francia, 21 de marzo de 1768 - París, 16 de mayo de 1830) fue un matemático y físico francés conocido sobre todo por sus trabajos sobre las series que llevan su nombre, que aplicó a la resolución de la ecuación del calor.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, Alemania, 13 de febrero de 1805 - Gotinga, Alemania, 5 de mayo de 1859) fue un importante matemático alemán.
Josiah Willard Gibbs (New Haven, Connecticut, Estados Unidos, 11 de febrero de 1839-íd., 28 de abril de 1903) fue un importante físico y matemático estadounidense.