I due modi di ragionare della matematica
La geometria e la matematica che hai studiato negli anni passati ti sono state presentate in modo intuitivo, partendo dall'osservazione di molti casi particolari e poi passando ad una generalizzazione. Questo modo di procedere si chiama ragionamento induttivo.
Anche quando abbiamo affrontato le dimostrazioni in algebra, la prima cosa che facevamo era quella di osservare molti casi particolari.
Sommando tre numeri naturali consecutivi ottengo:
Mi accorgo che sono tutti multipli di tre. Ipotizzo che, se continuassi allo stesso modo, i risultati delle addizioni sarebbero i multipli di 3 successivi: 18, 21, 24, ...
Questo appena visto è un esempio di ragionamento induttivo che ci porta a formulare un'ipotesi detta anche congettura.
Le congetture possono essere sia vere che false e, da solo, il metodo induttivo non permette di decidere qual è il valore di verità di una congettura.
Il ragionamento induttivo, però, è importante perché ci permette di scoprire nuove proprietà che potrebbero valere in qualsiasi caso. Per fare affermazioni veritiere e di carattere generale spesso i casi da dover controllare in modo induttivo sono infiniti e non abbiamo modo di osservare tutti gli infiniti casi.
Per dimostrare che qualche cosa sia vero dobbiamo affidarci ad un ragionamento che permetta di far vedere come una congettura sia vera o falsa usando dei passaggi logici. Facciamo un esempio:
Se indichiamo con un generico numero naturale, la somma di tre numeri successivi la posso scrivere così: che è uguale a Quindi la somma di tre numeri successivi a partire da un numero naturale è sempre il prodotto di 3 per che è un multiplo di 3.Questo si chiama ragionamento deduttivo ed è tipico delle dimostrazioni. Le affermazioni che si riescono a dimostrare vere, passano da essere delle congetture ad essere dei teoremi. Questi teoremi sono importanti perché possono essere usati nelle future dimostrazioni semplicemente citandoli e senza doverli dimostrare di nuovo.
Prova ad individuare i due termini successivi delle sequenze qui sotto (fai una congettura)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., ...