Quadratische Funktionen
- Autor:
- Lukas Semrau
Was ist eine quadratische Funktion / Gleichung
Eine Funktion ist dann quadratisch, wenn in dem Funktionsterm ein Quadrat vorkommt. Analog verläuft das zu den Gleichungen:
Es muss gelten!
Beispiel
Eine Funktion hat die Parameter: , und . Bestimme den Funktionsterm.
Exkurs: Grafische Aussagen über Parabeln treffen.
Der Parameter sagt aus, ob die Parabel gestreckt () oder gestaucht () bzw. nach oben () oder nach unten () geöffnet ist.
Aufgabe
Welche Aussage kann man über die Parabel treffen?
Video: Einführung und Wertetabelle
Parabel und Normalparabel
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Der Graph einer Funktion heißt Normalparabel, da sie der Graph der "einfachsten quadratischen" Funktion der Welt. ist.
Aufgabe
Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion und zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Scheitelpunkt
Was wird wohl der Scheitelpunkt sein? Mach dir Gedanken. Anm.: Zu 99% wird dir die Antwort als falsch markiert.
Verschieben einer Normalparabel in y-Richtung
Verändere den Parameter im Grafikrechner - Applet.
Verschiebung in x-Richtung
Wir gucken uns jetzt nochmal lineare Funktionen an. Acht besonders auf die Art des Funktionsterms, wenn du den Graphen nach links / rechts verschiebst.
Übertrage dies jetzt auf quadratische Funktionen: Was muss man an einer quadratischen Funktion ändern um sie nach links oder rechts zu verschieben?
Beliebige Verschiebung
Um Parabeln beliebig zu verschieben muss ein neuer Parameter
e zur Scheitelpunktform hinzukommen. Dieser verschiebt um x-
verschobene Parabeln zusätzlich nach oben/unten. Soll die Parabel noch gestreckt
bzw. gestaucht werden muss der Parameter a verwendet werden.
Der Scheitelpunkt liegt bei
.
Quadratische Ergänzung
Manchmal muss man die Normalform in die Scheitelpunktform bringen (um zum Beispiel die Parabel zu skizzieren).
Dazu verwendet man die quadratische Ergänzung.
Um das anschaulich zu verstehen, siehe die folgendes Video an:
nochmal eine ausführlichere Erklärung
Aufgaben zur quadratische Ergänzung
Bestimme den Scheitelpunkt mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.
Bringe in die Scheitelpunktform
Allgemeine Lösungsformel
Um quadratische Gleichungen zu lösen bzw. die Nullstellen einer solchen Funktion zu berechnen gibt es folgende Lösungsformel:
Einstieg: Die Diskriminante
Herleitung der a-b-c-Formel
Beispiele
Aufgabe
Bestimme die Nullstelle(n) der Funktion .
Funktionen der Form y=ax²+bx
Im folgenden wollen wir die Nullstellen einer Funktion ermitteln. Diese kann man nun zu umformen. Hier kann man dann die Regel vom Nullprodukt anwenden.
Die Nullstellen sind also: