Quadratische Funktionen

Was ist eine quadratische Funktion / Gleichung

Eine Funktion ist dann quadratisch, wenn in dem Funktionsterm ein Quadrat vorkommt. Analog verläuft das zu den Gleichungen: Es muss gelten!

Beispiel

Eine Funktion hat die Parameter: , und . Bestimme den Funktionsterm.

Kreuze alle richtigen Antworten an

Exkurs: Grafische Aussagen über Parabeln treffen.

Der Parameter sagt aus, ob die Parabel gestreckt () oder gestaucht () bzw. nach oben () oder nach unten () geöffnet ist.

Aufgabe

Welche Aussage kann man über die Parabel treffen?

Kreuze alle richtigen Antworten an

Video: Einführung und Wertetabelle

Parabel und Normalparabel

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Der Graph einer Funktion heißt Normalparabel, da sie der Graph der "einfachsten quadratischen" Funktion der Welt. ist.

Aufgabe

Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion und zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Scheitelpunkt

Was wird wohl der Scheitelpunkt sein? Mach dir Gedanken. Anm.: Zu 99% wird dir die Antwort als falsch markiert.

Verschieben einer Normalparabel in y-Richtung

Verändere den Parameter im Grafikrechner - Applet.

  1. Was ändert der Parameter .
  2. Erkennst du Parallelen zu linearen Funktionen?
  3. Wo liegt der Scheitelpunkt?

Verschiebung in x-Richtung

Wir gucken uns jetzt nochmal lineare Funktionen an. Acht besonders auf die Art des Funktionsterms, wenn du den Graphen nach links / rechts verschiebst.

Übertrage dies jetzt auf quadratische Funktionen: Was muss man an einer quadratischen Funktion ändern um sie nach links oder rechts zu verschieben?

Beliebige Verschiebung

Um Parabeln beliebig zu verschieben muss ein neuer Parameter e zur Scheitelpunktform hinzukommen. Dieser verschiebt um x- verschobene Parabeln zusätzlich nach oben/unten. Soll die Parabel noch gestreckt bzw. gestaucht werden muss der Parameter a verwendet werden.

Der Scheitelpunkt liegt bei

.

Quadratische Ergänzung

Manchmal muss man die Normalform in die Scheitelpunktform bringen (um zum Beispiel die Parabel zu skizzieren). Dazu verwendet man die quadratische Ergänzung. Um das anschaulich zu verstehen, siehe die folgendes Video an:

nochmal eine ausführlichere Erklärung

Aufgaben zur quadratische Ergänzung

Bestimme den Scheitelpunkt mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

Kreuze alle richtigen Antworten an

Bringe in die Scheitelpunktform

Kreuze alle richtigen Antworten an
Allgemeine Lösungsformel Um quadratische Gleichungen zu lösen bzw. die Nullstellen einer solchen Funktion zu berechnen gibt es folgende Lösungsformel:

Einstieg: Die Diskriminante

Herleitung der a-b-c-Formel

Beispiele

Aufgabe

Bestimme die Nullstelle(n) der Funktion .

Kreuze alle richtigen Antworten an

Funktionen der Form y=ax²+bx

Im folgenden wollen wir die Nullstellen einer Funktion ermitteln. Diese kann man nun zu umformen. Hier kann man dann die Regel vom Nullprodukt anwenden. Die Nullstellen sind also:

Regel vom Nullprodukt