Aplicación del Teorema de Rouché-Frobenius
- Autor:
- JLF
- Tema:
- Álgebra, Ecuaciones, Ecuaciones lineales, Matrices
Recordad que un sistema de ecuaciones lineales (SEL) puede representarse de forma matricial como A·X = b, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de términos independientes. Recordad que el SEL es
- compatible determinado: si tiene solución y es única.
- compatible indeterminado: si tiene solución no única. En este caso, existen infinitas soluciones.
- incompatible: si no tiene solución.
Teorema de Rouché-Frobenius
"Sea el sistema A·X=b con m ecuaciones lineales y con n incógnitas, donde m y n son naturales mayores que 0. Entonces,
- El sistema A·X = b es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)
- El sistema A·X = b es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)= n"
Ejemplo de aplicación
La matriz ampliada del sistema es
El rango de la matriz es
ya que tiene un determinante de dimensión 3 no nulo:
Además, como el determinante anterior también es el determinante de la matriz A, la matriz de coeficientes también tiene rango 3:
Por tanto, tenemos que los rangos de las dos matrices coinciden
y, por el teorema de Rouché-Frobenius, como el rango es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
En efecto, la única solución del sistema es, en forma matricial,
Es decir,
Nota: la solución se ha calculado por la regla de Cramer.