Bifurcation de Feigenbaum

La fonction logistique est itérée pour des valeurs de variables entre 0 et 4. Le comportement de la suite est intéressant: pour certaines valeurs de la suite converge, pour d'autres elle diverge, ayant plusieurs valeurs d'adhérence, jusqu'au cahos, où tout point du segment est valeur d'adhérence. On trace le graphe "en colimaçon" des termes de la suite , mais également des points de la forme pour de grandes valeurs de .
Justifiez qu'on peut itérer la fonction $f_a$. Faites varier la valeur et le premier terme de la suite. Résoudre en fonction de . Si est cette valeur, que peut-on dire de la suite? Essayez numériquement. Que constatez-vous? En distinguant les cas , , , montrer que la suite converge pour les deux premiers cas et donner l'expression de la limite. Calculer la dérivée de la fonction au point fixe précédent. Qu'est-ce que ça vaut pour ? Tracez la fonction composée . Montrer que les sous-suites paires et impaires convergent pour pour qu'on déterminera.