Inversió, simplificat TOT

Autor:: Josep Iglesias

Tema:: Círculo

Amb un simple vídeo, Nestor Martín explica com resoldre tots els casos de tangència per inversió, de manera simplificada, no com l'expliquen tots els llibres de dibuix tècnic.

La inversió no deixa de ser una simetria, però no una simetria respecte d'una recta sinó respecte d'una circumferència.

Simetria respecte d'una recta: Per trobar la inversió d'un punt respecte d'una recta, tracem una recta perpendicular a l'eix, i agafant com a centre el punt de tall amb l'eix transportem la distància del punt P a la perpendicular i trobem el punt simètric P'. Simetria respecte d'una circumferència (inversió): Per trobar la inversió d'un punt respecte d'una circumferència (anomenada circumferència d'auto-inversió), tracem una recta perpendicular a la circumferència passant pel punt P a invertir (recta que passa pel centre de la circumferència), i agafant com a centre el punt mig entre el centre i el punt P tracem una semicircumferència que passi per P, al tallar amb la circumferència tracem una perpendicular a la recta i la intersecció serà el punt invers P'.

Amb el document següent intenta respondre a les preguntes següents:

Amb els comandaments, activa i desactiva el desplaçament del punt P. També pots modificar la situació de la recta amb la casella propietats. Activa la casella recta i prem la tecla d'activació:

Què és la inversa d'una recta?
Per on passa la inversa de la recta? perquè?
Com és la inversa quan la recta és tangent a la circumferència d'inversió?
Què passa si la recta és tangent? Quin és el punt invers dels punts de tall?

Activa la casella circumferència i prem la tecla d'activació:

Quina figura és la inversa d'una circumferència?
Com és la inversa si la circumferència és tangent a la corba d'inversió?
Com és la inversa si les circumferències són secants?
Si tracem la tangent des del centre d'inversió a la circumferència a invertir i el fem coincidir el radi de la circumferència d'auto-inversió, com és la inversa?

Quina figura geomètrica és la inversió d'una recta? i d'una circumferència?

CONCLUSIONS: Inversa d'una recta:

La inversa d'una recta és una circumferència que passa per el centre d'inversió.
Quan més lluny està la recta de la circumferència, més petita és la circumferència inversa.
Si la recta és tangent a la circumferència d'inversió, la inversa és una circumferència amb diàmetre del centre d'inversió al punt de tangència.
Si la recta és secant a la circumferència d'inversió, la inversa és una circumferència que passa pel centre d'inversió i els dos punts de tall.

Inversa d'una circumferència:

La inversa d'una circumferència és una altra circumferència.
Si la circumferència d'auto-inversió és tangent a la circumferència a invertir, la inversa també és tangent pel mateix punt.
Si les circumferències són secants la inversa també és secant pel mateixos punts.
si tracem un segment des del centre d'inversió fins al punt de tangència de la circumferència a invertir i agafem aquesta longitud com a radi d'inversió, la inversa de la circumferència és ella mateixa.

INVERSIÓ - Concepte i traçat de les inverses. En el vídeo següent s'explica com trobar la inversa de punts, rectes i circumferències:

Passos a seguir per resoldre qualsevol exercici de tangències per inversió.

Escollim un centre d'inversió i una circumferència d'auto-inversió.
Fem les inverses de les dades (circumferències, rectes o punts).
Trobem les tangents comuns a les inverses.
Fem les inverses de les tangents.

TANGÈNCIES PER INVERSIÓ (exemple) Tot seguit us deixo dues de les explicacions de com resoldre les tangències del cas d'Apol·loni CCP, és a dir, trobar les circumferències que són tangents a dues circumferències i a un punt P per inversió, al final del vídeo trobareu l'enllaç a la llista de reproducció següent:

També us deixo la llista de reproducció de Tangències d'Apol·loni.

Tot seguit teniu un vídeo de Nestor Martín que explica el mètode per afrontar les deu classes de tangències de Punts, Rectes i Circumferències. Molt recomanable mirar-lo.

Nombre de solucions de circumferències tangents a tres elements: (P és un punt, r és una recta i C és una circumferència) 1 Solució:

2 Solucions:

4 Solucions:

8 Solucions:

Els exercicis que tenen 8 solucions, el que es fa per resoldre’ls és reduir una circumferència a un punt i la resta d’elements fer una paral·lela del radi d’aquesta circumferència cap un costat i cap a l’altre, així convertim l’exercici amb varis de més senzills amb 2 o 4 solucions, i en total tindrem les 8 solucions. Ex: CCC, convertirem l’exercici en diferents exercicis de PCC;

Agafarem el centre de la circumferència més petita com a centre d’inversió i reduirem la circumferència a un punt.
Ara agafarem les altres dues circumferències i també les transformarem, els sumarem o restarem el radi de la petita, d’aquesta manera trobarem varis exercicis PCC.
Per trobar les 8 solucions haurem de resoldre els diferents exercicis.

Exemple de resolució de les 8 solucions de les circumferències tangents a tres circumferències, reduint primer l'exercici a un punt i dues circumferències.

ENLLAÇOS interessants sobre INVERSIÓ

Tot seguit us deixo un seguit d'enllaços d'altres persones que parlen d'inversió. El millor que he trobat sobre inversió és el vídeo, o vídeos que us he posat de Nestor Martín Gulias sobre inversió. Aquest document de GAUSSIANOS explica matemàticament el concepte d'inversió, d'una forma molt entenedora: Las propiedades de la inversión (geométrica) A la pàgina WEB de Pere Planells, també podeu trobar informació sobre inversió;

La pàgina de "10 en dibujo tècnico" de Pablo Domingo, també parla sobre els casos bàsics d'inversió: Inversión en Dibujo Técnico: la teoría más completa