Hélice tubular

• Matemáticamente, podemos modelizarla como una curva, que da vueltas alrededor de un cilindro (radio constante).

• Pero, también podemos pensar en el grosor de la cuerda, y hacer el modelo como un "tubo" con forma de hélice, obteniendo una hélice tubular.
• Básicamente, se trata de la superficie generada por una circunferencia de radio constante, que se mueve a lo largo de una hélice. La particularidad es que, en cada punto, el plano en que se encuentra la circunferencia siempre es perpendicular a nuestra hélice.

• Los puntos sobre la línea central nos permiten elegir en qué partes de este eje se extenderá la superficie.
• El punto azul que tiene alrededor una circunferencia, el radio del cilindro.
• El punto sobre esa circunferencia, el radio del tubo correspondiente a la hélice.
• El otro punto, el paso, o distancia que habrá entre cada vuelta.

• ver el tubo o la propia hélice,
• marcar algunas curvas sobre la superficie,
• mostrar un punto que nos permita elegir qué sección circular ver.
• Pulsando sobre el punto, activaremos/desactivaremos su animación automática.

• Por simplicidad, el eje del cilindro será, por ejemplo, el eje "x".
• La hélice debe ir describiendo circunferencias de cierto radio R alrededor del cilindro, a la vez que avanza en la dirección de este eje.
• Habitualmente, la parametrización de una circunferencia de radio R en el plano es . En este caso, para dejar la coordenada libre para el eje, escribiremos la componente del coseno en la coordenada z.
• La hélice completa una vuelta cada , así que, para que "avance" una cierta cantidad en el eje "x" en cada vuelta, la componente x debe ser . Por comodidad, denotamos .
• Así pues, la podemos parametrizar como

  .

• la longitud de cada tramo es proporcional a la longitud recorrida en el parámetro , con lo que tenemos "casi" la parametrización natural de la hélice (en la que la distancia recorrida es precisamente la longitud recorrida en el parámetro).
• En general, el uso de la parametrización natural (o una proporcional) simplifica mucho el cálculo de la base para el plano ortogonal.
• Por ejemplo, el primer vector de la base puede obtenerse normalizando la derivada del vector tangente (dividiendo por su módulo).

• La forma habitual de obtenerlo es mediante el Triedro de Frênet. En este applet podemos ver su construcción y visualizarlo para una curva cualquiera.
• Un primer paso es derivar el vector tangente y el vector resultante para obtener uno unitario ortogonal al propio . Después, usando el producto vectorial, obtener el otro vector ortogonal , con el que tendremos la base del plano tangente.
• . Dividiendo por , obtenemos el vector unitario

  .

  (*) Es sencillo comprobar que, en este caso, es ortogonal a . Como hemos dicho, se debe al tipo de parametrización usada. Esto nos ahorrará un paso, pues de no haberlo sido, tendríamos que haber obtenido este segundo vector a través del vectorial con , y luego calcular otra vez el producto vectorial, obtenidendo así el tecer vector.

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