Recherche d’un point fixe
- Author:
- Debart Patrice
Énoncé
Dans le plan complexe orienté, on considère un triangle OO’A de sens direct, rectangle en O. On considère M un point du cercle C de centre O et passant par A. On désigne par S la similitude directe de centre A qui transforme O en O’ et on désigne par M’ le point image de M par la similitude S. On cherche à prouver que la droite (MM’) passe par un point fixe.
1. À l'aide d'un logiciel de géométrie plane, construire la figure associée à la situation décrite ci-dessus.
2. Construire l'image C’ du cercle C par la similitude S. Caractériser cet ensemble C’.
3. Quelle conjecture peut-on émettre pour la droite (MM’) lorsque M décrit le cercle C ?
Appeler l'examinateur pour une vérification de la construction faite.
On appelle A et B les points d'intersection de C et C’.
4. On pose S(B) = B’. Quelle propriété relative est vérifiée par les triangles ABB’ et AOO’ ?
Justifier.
5. Positionner le point M afin que le point B soit entre les points M et M’.
6. Donner des arguments mathématiques permettant de prouver que les points M, B et M’ sont alignés.
Indications
A est le point fixe de la similitude. L'image du cercle C de centre O et passant par A est le cercle C’ de centre O’ et passant par A.
Les points M, B et M’ sont alignés.
Descartes et les Mathématiques - Épreuve pratique 2009 de terminale S
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