Cosinusfunktion am Einheitskreis

Autor:
GeoGebra Materials Team
Thema:
Cosinus, Einheitskreis
Dieses dynamische Arbeitsblatt baut auf dem Arbeitsblatt "Sinusfunktion am Einheitskreis" auf. Hier wird genau das selbe gemacht, nur für den Cosinus statt für den Sinus.
  1. Begründe, warum die Länge der roten Strecke gerade der Cosinus des Winkels ist.
  2. Entsprechend der Erweiterung des Sinusbegriffs auf Winkel, die größer als sind, definieren wir für den Cosinus: Definition für einen erweiterten Cosinusbegriff: Als Cosinuswert für Winkel wird einfach die x-Koordinate des Punktes A genommen. Allerdings nicht bezogen auf das eingezeichnete Koordinatensystem sondern auf das des Einheitskreises. Du kannst es dir mit dem entsprechenden Kontrollkästchen anzeigen lassen. So entspricht die x-Koordinate von A genau der Länge der roten Strecke a. Auch hier gibt es für bestimmte "Zeigerstellungen" negative Werte, diesmal bei Winkeln zwischen und (90° und 270°). Du kannst dir die Cosinuswerte wieder mit dem entsprechenden Kontrollkästchen anzeigen lassen.
  3. Nun stellen wir wieder nach bewährtem Muster eine Funktion auf, die jedem Winkel im Bogenmaß diesmal den zugehörigen Cosinuswert zuordnet (Die Cosinus-Funktion) Diesmal tragen wir die Cosinuswerte, die zum eingestellten Winkel gehören, als y-Werte ab: Wir hängen wieder die Strecke a an den Punkt B, müssen sie dabei allerdings drehen. (Aktiviere das Kontrollkästchen "a über B abtragen" und beweg wieder den Punkt A.) Du kannst wieder die Spur des Punktes A' zeichnen lassen, um den Funktionsgraphen zu erhalten: Rechtsklick auf A' und dann auf "Spur an" klicken.
  4. Zeichne im Zeigerdiagramm, das du für die Sinusfunktion angefertigt hast, auch die Strecke ein, die dem Cosinus entspricht. Benutze eine andere Farbe.
    • Für welche(n) Winkel ist ? (Antwort in Bogenmaß und Grad)
    • Für welche(n) Winkel ist ? (Antwort in Bogenmaß und Grad)
    • Welche(r) Winkel hat/haben den selben Cosinuswert wie der Winkel 20°?
    • Welche(r) Winkel hat/haben betragsmäßig den selben Cosinuswert wie der Winkel 300°?
    • Für welche(n) Winkel gilt ?
    • Gib den Winkel in Gradmaß an. Wie groß ist der Cosinus dieses Winkels? Vergleiche mit dem Sinuswert!
  6. Und auch hier wieder: Zeichne auch den Graphen der Cosinusfunktion in das Schaubild der Sinusfunktion ein (wieder die andere Farbe verwenden).
  7. Und auch bei der Cosinusfunktion lässt sich der Definitionsbereich problemlos auf alle reellen Zahlen erweitern, indem wir negative Winkel als "Drehen im Uhrzeigersinn" interpretieren und Winkel als "weiter als eine ganze Umdrehung drehen".