Grundlagen & Formeln
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (Juli 2019)
Auf den folgenden Seiten wollen wir sämtliche Sechs-Eck-Gewebe aus 3 Kreisbüscheln erfassen und auflisten. Wir werden etwas allgemeiner sämliche Fälle mit Bahnkurven von W-Bewegungen - also auch mit Loxodromen-Scharen aufzählen. Den Nachweis, dass mit dieser Auflistung alle solche Sechs-Eck-Gewebe ermittelt sind, werden wir allerdings hier nicht im Detail durchführen (siehe Literaturverzeichnis [FÜW] 1982) Es seien paarweise reell linear unabhängige Infinitesimale Erzeugende von drei Moebius-W-Bewegungen. Durch mit werden Vektorfelder in der Moebiusebene definiert, deren Bahnkurven die Kreise, bzw. die Loxodrome des Büschels sind. In einer euklidischen Karte gehören hierzu die Vektorfelder- für .
- Es seien , und die zugehörigen Berührorte, also CASSINI-Quartiken oder in 2 Kreise zerfallende Quartiken.
- Linearkombination der 3 Vektorfelder
- ,
 | |
ist Grundlage für die folgende Klassifizierung der möglichen Sechs-Eck-Netze aus W-Kurvenscharen.
Zunächst gilt:
Ist eine CASSINI-Form invariant unter einer infinitesimalen Bewegung ,
d.h. es ist für ein , so zerfällt die Quartik.
Denn eine irreduzible CASSINI-Quartik kann nicht invariant unter einer MOEBIUS-W-Bewegung sein!
Aus der Gleichung folgt nun:
- Eine notwendige Bedingung für ein Sechs-Eck-Gewebe aus MOEBIUS-W-Kurvenscharen ist das Zerfallen der 3 CASSINI-Quartiken, also der 3 Berührorte .
, auf Hauptnenner gebracht, in der Form:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ergänzungen: *) Der Übergang von einer Infinitesimalen zum zugehörigen Vektorfeld ist ein Anti-Isomorphismus
der LIE-Algebren: . Dies ändert an den Formeln nicht Wesentliches!
Wie ändert sich der Quotient zweier HERMITEscher Formen unter der Wirkung eines Vektorfeldes mit
zugehöriger Infinitesimalen ?
per definitionem gilt in : wobei eine Integralkurve von mit ist
Für die Bahnkurven der W-Bewegungen gilt: für .
Ist speziell , eine CASSINI-Form, so gilt für die infinitesimale Änderung unter :
- .
GrundlagenFormelnGeoGebraoff
Eine Bemerkung zur Lösung mit CAS
Die Gleichung sieht reichlich kompliziert aus. Wir haben das CAS von geogebra zur Lösung nicht bemüht!
Bisherige Versuche mit diesem Modul haben uns nicht ermutigt, vor allem, wenn komplexe Zahlen im
Spiel waren.
Mit der leider nicht mehr verfügbaren CAS-Software DERIVE hatten wir eine ganz spezifische Erfahrung:
In allen Fällen, in denen nach unserer Zusammenstellung ein 6-Eck-Netz aus 3 Möbius-W-Kurven-Scharen
vorliegt, hat die Berechnung der Gleichung in Sekunden-Bruchteilen 0 ergeben!
Wir hatten die Formel in 3 Teile zerlegt, und es erwies sich, dass je nach vorliegendem Fall, unterschiedliche Teile
der Formel alleine schon 0 ergaben.
Wenn wir versuchsweise die Gleichung zur Kontrolle für 3 Möbius-W-Kurvenscharen berechnen lassen wollten,
die in unserer Übersicht nicht als Lösung angegeben wird, ergaben sich meist nicht-enden-wollende Rechenzeiten,
oder manchmal nach sehr langen Rechenzeiten komplizierte Terme in mit hohen Potenzen.
Der Berührort, also der Ort, in welchem sich Kreise aus 3 Kreischaren berühren, dürfte immer bei der Suche
nach 6-Eck-Netzen aus Kreisen eine wichtige Rolle spielen.
Man schaue sich daraufhin die "Neuen 6-Eck-Netze" aus Kreisen an, die weder Möbius-W-Scharen sind,
noch zu den bisher bekannten Netzen gehören.
Auch bei dem "besonderen 6-Eck-Netzen" aus Kreisen von W. Wunderlich spielt der Berührort eine zentrale Rolle:
Die Kreise sind Einhüllende, doppelt-berührende Kreise von 2-teiligen bizirkularen Quartiken.
sieht reichlich kompliziert aus. Wir haben das CAS von geogebra zur Lösung nicht bemüht!
Bisherige Versuche mit diesem Modul haben uns nicht ermutigt, vor allem, wenn komplexe Zahlen im
Spiel waren.
Mit der leider nicht mehr verfügbaren CAS-Software DERIVE hatten wir eine ganz spezifische Erfahrung:
In allen Fällen, in denen nach unserer Zusammenstellung ein 6-Eck-Netz aus 3 Möbius-W-Kurven-Scharen
vorliegt, hat die Berechnung der Gleichung in Sekunden-Bruchteilen 0 ergeben!
Wir hatten die Formel in 3 Teile zerlegt, und es erwies sich, dass je nach vorliegendem Fall, unterschiedliche Teile
der Formel alleine schon 0 ergaben.
Wenn wir versuchsweise die Gleichung zur Kontrolle für 3 Möbius-W-Kurvenscharen berechnen lassen wollten,
die in unserer Übersicht nicht als Lösung angegeben wird, ergaben sich meist nicht-enden-wollende Rechenzeiten,
oder manchmal nach sehr langen Rechenzeiten komplizierte Terme in mit hohen Potenzen.
Der Berührort, also der Ort, in welchem sich Kreise aus 3 Kreischaren berühren, dürfte immer bei der Suche
nach 6-Eck-Netzen aus Kreisen eine wichtige Rolle spielen.
Man schaue sich daraufhin die "Neuen 6-Eck-Netze" aus Kreisen an, die weder Möbius-W-Scharen sind,
noch zu den bisher bekannten Netzen gehören.
Auch bei dem "besonderen 6-Eck-Netzen" aus Kreisen von W. Wunderlich spielt der Berührort eine zentrale Rolle:
Die Kreise sind Einhüllende, doppelt-berührende Kreise von 2-teiligen bizirkularen Quartiken.Wir haben die 6-Eck-Bedingung in mathematica übersetzt und damit die Fälle überprüft:
es bestätigt sich die Erfahrung, die wir mit DERIVE hatten: in den Fällen, in welchen nach unserer Übersicht
6-Eck-Netze vorliegen, ergab die Gleichung in allerkürzester Zeit 0.
Die Kontrolle in anderen Situationen führte stets zu fast endlosen Rechenzeiten, und - falls die Rechnungen sich in endlicher
Zeit durchführen ließen - zu sehr langen Termen mit hohen Potenzen in und .
Leider fanden wir in den CAS-Rechnungen keine Hinweise, die es erlaubten, einfachere geometrische Gründe für das
Vorliegen eines 6-Eck-Netzes abzulesen!
in mathematica übersetzt und damit die Fälle überprüft:
es bestätigt sich die Erfahrung, die wir mit DERIVE hatten: in den Fällen, in welchen nach unserer Übersicht
6-Eck-Netze vorliegen, ergab die Gleichung in allerkürzester Zeit 0.
Die Kontrolle in anderen Situationen führte stets zu fast endlosen Rechenzeiten, und - falls die Rechnungen sich in endlicher
Zeit durchführen ließen - zu sehr langen Termen mit hohen Potenzen in und .
Leider fanden wir in den CAS-Rechnungen keine Hinweise, die es erlaubten, einfachere geometrische Gründe für das
Vorliegen eines 6-Eck-Netzes abzulesen!