Grundlagen & Formeln

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (Juli 2019)

Auf den folgenden Seiten wollen wir sämtliche Sechs-Eck-Gewebe aus 3 Kreisbüscheln erfassen und auflisten. Wir werden etwas allgemeiner sämliche Fälle mit Bahnkurven von W-Bewegungen - also auch mit Loxodromen-Scharen aufzählen. Den Nachweis, dass mit dieser Auflistung alle solche Sechs-Eck-Gewebe ermittelt sind, werden wir allerdings hier nicht im Detail durchführen (siehe Literaturverzeichnis [FÜW] 1982) Es seien paarweise reell linear unabhängige Infinitesimale Erzeugende von drei Moebius-W-Bewegungen. Durch mit werden Vektorfelder in der Moebiusebene definiert, deren Bahnkurven die Kreise, bzw. die Loxodrome des Büschels sind. In einer euklidischen Karte gehören hierzu die Vektorfelder
  • für .
Da nach Voraussetzung die 3 infinitesimalen Bewegungen paarweise reell-linear-unabhängig sind, zeigen in jedem Punkt der Ebene die Tangentialvektoren in 3 verschiedene Richtungen - ausgenommen in den Berührorten der Bewegungen:
  • Es seien , und die zugehörigen Berührorte, also CASSINI-Quartiken oder in 2 Kreise zerfallende Quartiken.
Der Typ und die Lage dieser 3 Berührorte ist kennzeichnend dafür, ob ein Sechs-Eck-Gewebe vorliegt oder nicht. Wenn ein solches vorliegt, dann gilt die Sechs-Ecks-Bedingung jeweils in den offenen zusammenhängenden Teilgebieten der Ebene, welche von den
Berührorten berandet werden. Man prüft nun unschwer nach, dass mit den reellwertigen Funktionen , gilt:
  • Linearkombination der 3 Vektorfelder
Die Funktionen hängen von der Normierung der Berührgeradenvektoren und damit von der Wahl der euklidischen Basis ab. Unser Ziel ist es, die Sechs-Eck-Bedingung in moebiusgeometrisch invarianter Form aufzustellen. Dazu setzen wir mit einer zunächst beliebigen HERMITEschen Form :
  • ,
Es gilt wiederum . Um die Koeffizienten des LIE-Produkts zu bestimmen, beachten wir, dass wiederum das Vektorfeld einer W-Kurvenschar ist, die zugehörige Erzeugende ist *) das - Zeichen wird unten erkärt! Wir ermitteln ähnlich wie oben die Linearkombination der Vektorfelder , in dem wir anstelle von setzen:
Drei MOEBIUS-W-Kurvenscharen mit den paarweise reell-linear unabhängigen Infinitesimalen bilden genau dann ein Sechs-Eck-Gewebe, wenn gilt:
Dabei ist mit einer zunächst beliebigen HERMITEschen Form . Diese Sechseck-Bedingung für 3 W-Kurvenscharen in der MOEBIUS-Ebene folgt aus der Sechseck-Bedingung für 3 ebene Vektorfelder im Allgemeinen. Setzt man nun , so reduziert sich die Bedingung *) auf:
Toolbar Image 
Die Gleichung Toolbar Image ist Grundlage für die folgende Klassifizierung der möglichen Sechs-Eck-Netze aus W-Kurvenscharen. Zunächst gilt: Ist eine CASSINI-Form invariant unter einer infinitesimalen Bewegung , d.h. es ist für ein , so zerfällt die Quartik. Denn eine irreduzible CASSINI-Quartik kann nicht invariant unter einer MOEBIUS-W-Bewegung sein! Aus der Gleichung Toolbar Image folgt nun:
  • Eine notwendige Bedingung für ein Sechs-Eck-Gewebe aus MOEBIUS-W-Kurvenscharen ist das Zerfallen der 3 CASSINI-Quartiken, also der 3 Berührorte .
Begründung: Für die Teilbarkeitsüberlegungen schreiben wir die Gleichung Toolbar Image, auf Hauptnenner gebracht, in der Form:
Wäre z.B. irreduzibel, so müßte ein Teiler der rechten Seite sein; dies wäre nur möglich, wenn invariant unter , oder wäre, da die Formen wesentlich verschieden sind.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ergänzungen: *) Der Übergang von einer Infinitesimalen zum zugehörigen Vektorfeld ist ein Anti-Isomorphismus der LIE-Algebren: . Dies ändert an den Formeln nicht Wesentliches! Wie ändert sich der Quotient zweier HERMITEscher Formen unter der Wirkung eines Vektorfeldes mit zugehöriger Infinitesimalen ? per definitionem gilt in : wobei eine Integralkurve von mit ist Für die Bahnkurven der W-Bewegungen gilt: für . Ist speziell , eine CASSINI-Form, so gilt für die infinitesimale Änderung unter :
  • .

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Eine Bemerkung zur Lösung mit CAS

Die Gleichung Toolbar Imagesieht reichlich kompliziert aus. Wir haben das CAS von geogebra zur Lösung nicht bemüht! Bisherige Versuche mit diesem Modul haben uns nicht ermutigt, vor allem, wenn komplexe Zahlen im Spiel waren. Mit der leider nicht mehr verfügbaren CAS-Software DERIVE hatten wir eine ganz spezifische Erfahrung: In allen Fällen, in denen nach unserer Zusammenstellung ein 6-Eck-Netz aus 3 Möbius-W-Kurven-Scharen vorliegt, hat die Berechnung der Gleichung Toolbar Image in Sekunden-Bruchteilen 0 ergeben! Wir hatten die Formel in 3 Teile zerlegt, und es erwies sich, dass je nach vorliegendem Fall, unterschiedliche Teile der Formel alleine schon 0 ergaben. Wenn wir versuchsweise die Gleichung zur Kontrolle für 3 Möbius-W-Kurvenscharen berechnen lassen wollten, die in unserer Übersicht nicht als Lösung angegeben wird, ergaben sich meist nicht-enden-wollende Rechenzeiten, oder manchmal nach sehr langen Rechenzeiten komplizierte Terme in mit hohen Potenzen. Der Berührort, also der Ort, in welchem sich Kreise aus 3 Kreischaren berühren, dürfte immer bei der Suche nach 6-Eck-Netzen aus Kreisen eine wichtige Rolle spielen. Man schaue sich daraufhin die "Neuen 6-Eck-Netze" aus Kreisen an, die weder Möbius-W-Scharen sind, noch zu den bisher bekannten Netzen gehören. Auch bei dem "besonderen 6-Eck-Netzen" aus Kreisen von W. Wunderlich spielt der Berührort eine zentrale Rolle: Die Kreise sind Einhüllende, doppelt-berührende Kreise von 2-teiligen bizirkularen Quartiken.
Wir haben die 6-Eck-Bedingung Toolbar Image in mathematica übersetzt und damit die Fälle überprüft: es bestätigt sich die Erfahrung, die wir mit DERIVE hatten: in den Fällen, in welchen nach unserer Übersicht 6-Eck-Netze vorliegen, ergab die Gleichung Toolbar Image in allerkürzester Zeit 0. Die Kontrolle in anderen Situationen führte stets zu fast endlosen Rechenzeiten, und - falls die Rechnungen sich in endlicher Zeit durchführen ließen - zu sehr langen Termen mit hohen Potenzen in und . Leider fanden wir in den CAS-Rechnungen keine Hinweise, die es erlaubten, einfachere geometrische Gründe für das Vorliegen eines 6-Eck-Netzes abzulesen!