I. 3. Fixed Points (Samodružné body)
- Autor:
- Šárka Voráčová
- Téma:
- Matice, Geometrická zobrazení
Determine the fixed point of the tranformation X' = MX, where M is square matrix.
M = {{0.5, 0.87}, {0.87, -0.5}}. Experimentální přístup:
Zvolíme si libovolný bod C v rovině a příkazem PouzitiMatice(M,C) sestrojíme jeho obraz.
Pohybujeme bodem C, dokud se neztotožní se svým obrazem.
Zdá se, že matice zadává osovou souměrnost, osu souměrnosti můžeme sestrojit jako osu libovolného páru odpovídajících si bodů C C'. Budete-li ale pečlivě hledat polohu samodružných bodů, zjistíte, že se překrývají jen přibližně, nedosáhnete vyšší přesnosti než na dvě des. místa. Kontrolní výpočet determinantu též dává -1 jen s přesností na dvě des. místa. Připustíme-li takovou nepřesnost, pak matice popisuje osovou souměrnost s osou samodružných bodů . Samodružným směrem je směr osy a směr k němu kolmý .
Výpočet:
Dosadíme-li vztah pro samodružné body X'=X do zobrazovacích rovnic dostáváme lineární rovnice X=MX. Převedeme vše na levou stranu a vytkneme vektor X. K tomu ovšem musíme vynásobit vektor X jednotkovou maticí E. Výsledný zápis soustavy rovnic (M-E)X=o, dává návod pro řešení soustavy homogenních lineárních rovnic pomocí software. V GeoGebře provede ekvivalentní úpravy příkaz
SchodovityTvar(M - Jednotkova(2)).
Výslednou maticí MminusE je jednotková matice, tedy existuje jen triviální řešení x = 0, y =0.