Soropan

Soropan é uma generalização do ábaco fechado conhecido como soroban que nos permite fazer contas em outros sistemas de numeração posicionais. O nome soropan é obtido modificando apenas uma letra da palavra soroban. Ao trocarmos o B pelo P a última sílaba passa a ser PAN, termo que remete à ideia de universalidade, característica que pode ser associada a este instrumento. Esta construção é um soropan virtual. Mais que isso, ela permite que sejam construídos, a partir dela, soropans de sistemas de numeração posicionais até a base 32, bem como permite operar, nesses sistemas, com números de até cinco algarismos. Para entender melhor o que é um soropan e suas principais características, recomendamos a leitura da seção CONCEITOS E PROPRIEDADES, que segue logo abaixo da construção. Agora é só se divertir experimentando nosso soropan virtual!

O soroban é um ábaco muito eficiente para se trabalhar no sistema de numeração posicional decimal. É natural, portanto, que nos questionemos: que características um ábaco deve possuir para que mantenha essa eficiência quando trabalhamos em outras bases numéricas? Da tentativa de responder a esta pergunta é que surge o conceito de soropan! O soropan de um sistema de numeração posicional é um ábaco fechado que permite que, em cada uma de suas hastes, sejam representados de forma única todos os algarismos e apenas eles. Com base na teoria matemática que pode ser construída a partir do conceito de soropan, a construção acima foi elaborada de tal forma que só é possível produzir, por meio dela, ábacos que sejam soropans. Além disso, a construção produz pares de números aleatórios representados em outros sistemas de numeração, cuja soma não excede cinco algarismos, a fim de que você possa exercitar suas habilidades de somar e subtrair em outros sistemas numéricos. O único cuidado necessário para isso é lembrar-se de que uma conta da haste seguinte não vale necessariamente dez vezes o valor da conta da haste considerada. No applet acima, a haste inferior corresponde às unidades, sendo o valor das contas de uma haste multiplicado pela base do sistema de numeração cada vez que se sobe para a seguinte. Em um soroban, as contas ficam separadas pelo hari, que o divide em duas partes, uma com 4 contas de valor 1 e outra com uma conta de valor 5. Um soropan, pode possuir mais do que duas partes, as quais são denominadas pautas, por lembrarem as pautas de um caderno. Assim, uma pauta corresponde à reunião das contas de uma haste que possuem o mesmo valor, sendo a posição de uma pauta contabilizada a partir da primeira (cujas contas sempre possuem valor unitário) até a última pauta (aquela que reúne as contas de maior valor), seguindo-se da esquerda para a direita. O valor de uma pauta corresponde ao valor de uma de suas contas. Esse valor é sempre um divisor da base do sistema de numeração adotado, mas não pode ser igual a própria base. Nesta construção pode-se observar que contas de pautas diferentes possuem cores distintas e as de uma mesma pauta possuem a mesma cor. Além disso, o valor de uma conta só é contabilizado quando esta é posicionada do lado direito de sua pauta, bastando clicar sobre ela para movimentá-la. Existe uma quantidade máxima de pautas que um soropan pode ter. Essa quantidade corresponde ao número de fatores primos da base do sistema de numeração, incluindo as repetições. Assim, por exemplo, na base 12, um soropan poderá ter, no máximo, três pautas, já que 12 = 2 x 2 x 3 possui três fatores primos. O número de pautas que um soropan possui indica o seu nível, assim, dizemos que um soropan de nível n é aquele que possui n pautas. O soropan de nível 1 recebe o nome de soropan elementar. Embora, para cada base numérica exista um único soropan elementar, o mesmo pode não ser verdade para os demais níveis. Logo, faz sentido que exista um procedimento que nos permita selecionar apenas um soropan de cada nível. Tal procedimento é denominado padronização e o soropan de n pautas escolhido por meio dele é denominado soropan padrão do nível n. A padronização consiste em tomar todos os soropans do nível n e comparar o valor das pautas que ocupam a mesma posição. Partindo da última pauta, são selecionados apenas aqueles soropans cuja pauta possui o maior valor. Tomando apenas os soropans já selecionados, repete-se o procedimento para a pauta que ocupa a posição anterior até que reste apenas um soropan, o qual será o soropan padrão do nível n. O processo certamente se encerrará antes que se chegue a primeira pauta. Com os conceitos de que dispomos até aqui, podemos finalmente selecionar, dentre os soropans de uma base numérica qualquer, aquele que vamos chamar de soroban. Portanto: Soroban da base b é o soropan padrão de nível máximo. Para que possamos mostrar de maneira mais concreta como obter o soroban de uma base selecionada, vamos primeiro introduzir a notação que nos permitirá representar os soropans de uma base qualquer, chamada de notação reduzida. Nela, representamos os soropans pelos valores de todas as suas pautas, exceto a primeira, entre colchetes e separados por vírgula em ordem crescente de valor no sentido da escrita. Como o valor da primeira pauta é sempre 1, não há necessidade de representá-la, em seu lugar colocamos, então, o valor da base numérica. Assim, os soropans da base 12, que são oito, são notacionados da seguinte forma [12, 3, 6], [12, 2, 6], [12, 2, 4], [12, 6], [12, 2], [12, 3], [12, 4] e [12]. Agora estamos aptos a encontrar o soroban de uma base qualquer. Tomemos novamente a base 12, cujos soropans, como visto antes, possuem no máximo três pautas, o que significa que os soropans de nível máximo são [12, 3, 6], [12, 2, 6] e [12, 2, 4]. Na comparação da última pauta, temos 6 > 4, o que elimina o soropan [12, 2, 4]. Comparando a penúltima pauta dos soropans que restaram, isto é, [12, 3, 6] e [12, 2, 6], eliminamos este último, já que 3 > 2. Concluímos, portanto, que [12, 3, 6] é o soropan padrão de nível 3, que é o nível máximo da base 12. Logo, [12, 3, 6] é o soroban da base 12, o qual é justamente o soropan que aparece na construção quando esta atividade é aberta. Há ainda uma notação ampliada, na qual, os oito soropans do sistema duodecimal visto anteriormente seriam representados entre colchetes por [(2, 1), (1, 3), (1, 6)]₁₂, [(1, 1), (2, 2), (1, 6)]₁₂, [(1, 1), (1, 2), (2, 4)]₁₂, [(5, 1), (1, 6)]₁₂, [(1, 1), (5, 2)], [(2, 1), (3, 3)]₁₂, [(3, 1), (2, 4)]₁₂ e [(11, 1)]₁₂, correspondendo o primeiro valor, dentro de cada um dos parênteses, ao número de contas da pauta e o segundo ao seu valor. A base numérica, neste caso, fica representada como um subíndice. Contudo, a representação da quantidade de contas de cada pauta não é realmente necessária, pois é completamente determinada pelo valor das pautas. O número de contas de uma pauta é obtido dividindo o valor da pauta seguinte (o valor da base, caso estejamos na última pauta) pelo valor da atual e subtraindo do resultado uma unidade. Assim, o soropan elementar sempre possuirá b - 1 contas. Existem ainda muitas outras noções e propriedades matemáticas que surgem a partir do conceito de soropan. Use nosso soropan virtual para explorá-las!

SAIBA MAIS Se você nunca ouviu falar de soroban ou deseja saber mais a respeito, deixamos linkadas aqui uma PlayList sobre o assunto e o aplicativo Simple Soroban no qual você pode fazer contas utilizando um soroban virtual. Entretanto, se seu interesse é conhecer mais sobre como funcionam outros sistemas de numeração para além daqueles que utilizam a base 10, sugerimos que consultem a versão original de nossa dissertação de mestrado, defendida pelo Profmat-Ufopa em 2013 ou então a versão com correções disponibilizada no pdf abaixo. Além de erros de digitação, foram feitas também correções de ordem técnica em algumas das demonstrações. ATENÇÃO Se você já está acostumado a utilizar o soroban tradicional, vai notar que, nesta construção, quando ele é produzido, a movimentação da conta da segunda pauta precisa ser feita no sentido contrário ao que é usualmente utilizado por quem já lida com o soroban tradicional, isto porque um soropan pode ter mais de duas pautas, de modo que é importante garantir que a movimentação de todas as contas ocorra num único sentido para evitar confusões. Nesta construção, uma conta é contabilizada quando posicionada à direita da pauta. Observem que, da base 25 em diante, aparece o algarismo O, cujo valor é 24. É preciso ter cuidado para não confundi-lo com o 0 (zero), que dele difere pelo formato mais alongado e, portanto, menos arredondado. Ao mudar de base, os números que devem ser operados também são alterados. Caso algum leitor localize novos erros no pdf da dissertação compartilhada aqui ou nesta atividade, mesmo que sejam apenas pequenos erros de digitação, ficarei grato se puderem apontá-los, enviando as considerações feitas para o e-mail: aroldo.athias@gmail.com. DICAS Você pode transformar essa construção em um jogo de fazer somas ou diferenças em outras bases. Para isso, basta tentar fazer a operação gerada pela construção no soropan. O valor em vermelho na janela superior indica o número que está representado no soropan e quando esse número ficar azul, significa que você encontrou o resultado da operação selecionada por você. Caso você tenha dificuldades para encontrar o valor correto, basta clicar na caixa "resultado" e ele será exibido. CURIOSIDADE Na base 10, além do soroban, existem mais dois soropans. Será que você consegue criar os outros usando a construção acima?

Esta construção é dedicada a um grupo de acadêmicos do curso de licenciatura integrada em matemática e física da Ufopa, Neucyane, Luiza, Emily, Juan e Márcio, bem como ao prof. Hugo Diniz, pois o conceito de soropan e o estudo de suas propriedades está sendo construído colaborativamente pelos membros deste grupo, do qual eu me orgulho de fazer parte.