Zahlenfolgen
- Autor:
- michi.schneider
Definition einer Folge
Eine Zahlenfolge (kurz Folge) ist eine Aneinanderreihung von Zahlen, deren Position eindeutig festgelegt ist und nicht verändert werden darf.
z.B.: (1, 3, 5, 7, 9, ...)
(a1, a2, a3, ...)
Die Glieder der Folge werden mit a1, a2, a3 bezeichnet. In diesem fall ist a3 = 5, d.h. das dritte Glied der Folge nimmt den Wert 5 an.
an wird als das n-te Glied der Folge bezeichnet.
n gibt die Position des Folgenglieds an.
Termdarstellung
Folgen können durch Angabe eines Terms (=Rechenvorschrift), mit dem das n-te Folgenglied berechnet werden kann, angegeben werden. Man sagt: Die Folge ist explizit gegeben.
Die einzelnen Folgenglieder berechnet man, indem man für n der Reihe nach 1, 2, 3, ... einsetzt.
Aufgaben:
Berechne mit Hilfe der Tabellenkalkulation von Geogebra die ersten15 Folgenglieder. In der 1. Spalte steht n und in der 2. Spalte wird an berechnet. Stelle die Folgen als Punkte im Grafikfenster dar.
an = 2n-1; an = n2 - n; an = (-1)n.
Rekursive Darstellung
Eine rekursiv gegebene Folge wird durch eine Vorschrift festgelegt, die angibt, wie ein Folgenglied aus den unmittelbar vorangegangenen Folgengliedern berechnet werden kann. Zusätzlich muss ein Startwert gegeben sein.
Bsp.: a1 = 4, an+1 = an - 2
Man kann nun das 2. Folgenglied berechnen: a2 = a1 - 2 = 4 - 2 = 2.
Für a3 gilt : a3 = a2 - 2 = 2 - 2 = 0. ...
Man erkennt, dass zur Berechnung des n-ten Folgenglieds alle vorangegangenen berechnet werden müssen.
Aufgaben:
Berechne mit Hilfe der Tabellenkalkulation von Geogebra die ersten 15 Folgenglieder. In diesem Fall benötigst du nur eine Spalte!
a1 = 3, an+1 = 2an + 1; a1 = -2, an+1 = 2an . (an - 1); a1 = 0, a1 = 1, an+2 = an+1 + an