M2.II.4 L Bestand durch Rechteckstreifen abschätzen
Leitfrage zu Phase 4
Wie kann ich den Bestand einer nicht linearen Änderungsratenfunktion nach oben und unten abschätzen?Wassermenge durch Rechteckstreifen abschätzen
Ausgehend von dem aus Phase 3 bekannten Funktionsgraphen, nähern die SuS im Arbeitsblatt
M5.II.4a AB Wassermenge als Rechteckstreifen
die Wassermenge, indem sie die Zuflussrate in jedem Teilintervall als konstant annehmen.
Für die Fläche unter dem Graphen bedeutet dies, dass sie diese mithilfe von Rechteckstreifen nähern.
Die Höhe der Rechtecke ist dabei die konstante Zuflussrate im Teilintervall und wird deshalb Rechteck für Rechteck durch die SuS festgelegt.
Zentral ist die Frage, ob die Wassermenge (der Flächeninhalt unter der Kurve) mit der Näherung über- oder unterschätzt wird. Die SuS berechnen sowohl einen über- als auch einen unterschätzenden Wert. In einem sich anschließenden Unterrichtsgespräch sollte unbedingt die Höhe der Rechteckstreifen diskutiert werden.
Die Suche nach einem systematischen Vorgehen, um die Wassermenge, bzw. die Fläche - wie beim Gepard die Momentangeschwindigkeit - nach oben und unten abzuschätzen, führt auf das Maximum und Minimum (genauer Supremum und Infimum) der Zuflussratenfunktion im Intervall und damit zu einer Definition der Ober- und Untersumme:
M5.II.4a AB Wassermenge als Rechteckstreifen
die Wassermenge, indem sie die Zuflussrate in jedem Teilintervall als konstant annehmen.
Für die Fläche unter dem Graphen bedeutet dies, dass sie diese mithilfe von Rechteckstreifen nähern.
Die Höhe der Rechtecke ist dabei die konstante Zuflussrate im Teilintervall und wird deshalb Rechteck für Rechteck durch die SuS festgelegt.
Zentral ist die Frage, ob die Wassermenge (der Flächeninhalt unter der Kurve) mit der Näherung über- oder unterschätzt wird. Die SuS berechnen sowohl einen über- als auch einen unterschätzenden Wert. In einem sich anschließenden Unterrichtsgespräch sollte unbedingt die Höhe der Rechteckstreifen diskutiert werden.
Die Suche nach einem systematischen Vorgehen, um die Wassermenge, bzw. die Fläche - wie beim Gepard die Momentangeschwindigkeit - nach oben und unten abzuschätzen, führt auf das Maximum und Minimum (genauer Supremum und Infimum) der Zuflussratenfunktion im Intervall und damit zu einer Definition der Ober- und Untersumme: Obersumme
Die Höhe der Rechtecke entspricht dem maximalen Funktionswert im Teilintervall.
Für die Berechnung der Obersumme multipliziert man die Rechteckbreite mit der jeweiligen Höhe (diese kann auch negativ sein!) und addiert die orientierten Flächeninhalte aller Rechtecke:
Im Beispiel:
Im Beispiel:
Untersumme
Die Höhe der Rechtecke entspricht dem minimalen Funktionswert im Teilintervall.
Für die Berechnung der Obersumme multipliziert man die Rechteckbreite mit der jeweiligen Höhe (diese kann auch negativ sein!) und addiert die orientierten Flächeninhalte aller Rechtecke:
Im Beispiel:
Im Beispiel:
Ergänzend kann mit dem Applet
M2.II.4b App Ober- und Untersumme
eine formale Definition erarbeitet werden:
M2.II.4b App Ober- und Untersumme
eine formale Definition erarbeitet werden:
GeoGebra als Werkzeug
An dieser Stelle im Unterrichtsverlauf können die GeoGebra-Befehle 
GeoGebra-Befehlsliste Modul 2
Die beiden Befehle sind optional. Sie können von den SuS leicht selbstständig erarbeitet, indem die SuS den Befehl
Obersumme() und Untersumme() eingeführt werden.
GeoGebra-Befehlsliste Modul 2
Die beiden Befehle sind optional. Sie können von den SuS leicht selbstständig erarbeitet, indem die SuS den Befehl Obersumme bzw. Untersumme in das Eingabefeld des Grafikrechners eintippen und mithilfe der erscheinenden Befehlsoptionen entsprechende Werte in den Klammern ergänzen. Zeitbedarf
2h + Übung
Übungsaufgaben
o-mathe.de Integralrechnung Integral Produktsummen Übungen Aufgabe 2
Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 186/187
Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 170/171
Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 205, Nr. 1/ S. 206 Nr. 2
Elemente der Mathematik, RLP, GK (2017): S. 164 Nr. 1
Übung:
Bestimme die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x2 und der x-Achse im Intervall [0; 4] näherungsweise, indem Sie
a) die Obersumme/ Untersumme bestehend aus 8 Teilintervallen berechnen.
b) die Obersumme/ Untersumme bestehend aus 8 Teilintervallen berechnen.
c) Überprüfen sie Ihre Ergebnisse mithilfe von GeoGebra.
bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale" Kap. 1 Flächeninhalte unter einer Kurve Serie 1.3 Flächeninhalte unter einer Kurve mit Hilfe ihrer Ober- und Untersumme bestimmen