Teorema di Lagrange
Enunciato
Sia y=f(x) una funzione e l'intervallo [a,b]D(f), tale che
- f è continua nell'intervallo chiuso [a,b]
- f è derivabile nell'intervallo aperto ]a,b[
Significato geometrico
La validità del Teorema di Lagrange garantisce l'esistenza di almeno una retta tangente alla curva parallela alla retta secante la funzione negli estremi a e b.
Attività
- Variando n verifica la tesi del Teorema di Lagrange con differenti grafici
- Sovrapponendo f(a) con f(b) osserva che si verifica il Teorema di Rolle
Dimostrazione
Consideriamo la seguente funzione:
Questa funzione è la composizione delle funzioni y=x, continua e derivabile in ed f(x), che verifica le ipotesi, quindi di conseguenza h(x) verifica le ipotesi 1 e 2 del Teorema di Lagrange.
Si calcola quindi:
ovvero
cioè h(x) verifica anche la terza ipotesi del Teorema di Rolle, per cui:
La derivata di h(x) è:
e per quanto detto sopra
da cui la tesi, ovvero