Derivada direccional
En la sección anterior observamos que, para una dirección fija ,
el cociente
puede tender a un número cuando se aproxima a .
Ese número depende del punto y de la dirección elegida.
Definición formal
Sea una función de dos variables y sea un punto del dominio.
Sea un vector unitario que determina una dirección.
La derivada direccional de en en la dirección se define como
,
si este límite existe.
Se denota .
En el applet se muestra la superficie
.
1. Fija el punto sobre la superficie.
2. Modifica el ángulo para cambiar la dirección del vector .
3. Observa el plano vertical determinado por esa dirección.
4. Identifica la curva que se obtiene al cortar la superficie con ese plano.
5. Observa la recta tangente a esa curva en el punto correspondiente a .
Pulsa el botón “Mirar plano de frente” para ver con mayor claridad la inclinación
de la recta.
Modifica la dirección .
¿Cambia la pendiente de la recta tangente?
Conclusión
La derivada direccional corresponde a la pendiente de la curva obtenida al cortar la superficie
con el plano vertical que contiene al punto con dirección dada por el vector .
Ejercicio
Sea un punto y sea una dirección unitaria.
La recta en el dominio (plano ) que parte desde en dirección puede parametrizarse como
.
Al mirar la superficie , esa recta genera una curva en el espacio dada por
.
1) Explique por qué la curva coincide con la intersección entre:
- la superficie , y
- el plano vertical determinado por la dirección .
2) Defina .
Interprete en el applet.
3) Justifique que la pendiente de la recta tangente mostrada en el applet es .
4) Concluya que esa pendiente coincide con
,
es decir, con la derivada direccional .
Cálculo explícito de la derivada direccional
Sea
,
un punto genérico
y una dirección unitaria .
Para calcular la derivada direccional en en la dirección , debemos calcular
.
Sustituimos:
.
Desarrollando los cuadrados:
,
.
Entonces,
.
Factorizamos :
.
Por tanto, tenemos que
.
Utilizando la regla de L'Hopital se tiene que
Así, obtenemos finalmente que la derivada direccional de en el punto
en la dirección del vector unitario es
.
Observación importante
El cálculo anterior muestra que obtener la derivada direccional
directamente desde la definición requiere un trabajo algebraico detallado.
Para funciones más complejas, este procedimiento puede volverse largo y técnico.
Sin embargo, hay dos direcciones particularmente importantes:
y .
Las derivadas direccionales asociadas a estas direcciones
reciben nombres especiales y serán fundamentales
para construir una herramienta que simplifique el cálculo
de derivadas direccionales en cualquier dirección.