Volumenbererechnung | Integrale | Didaktische Hinweise
Kurzinformationen
- Link zum Material für die Lernenden: https://www.geogebra.org/m/rcggrawt
- Herleitung der Formel für das Pyramidenvolumen unter Verwendung von Integralrechnung
- Qualifikationsphase (LK/eA); Funktionen und Analysis mit Verbindungen zur 3D-Geometrie
Leitgedanke zur Aktivität
Verbindungen zwischen Integral- und Volumenrechnung werden im Mathematikunterricht meist vor allem durch die Betrachtung von Rotationsvolumina hergestellt. Dieser Zugang beschränkt Volumenbetrachtungen allerdings auf Körper mit rotationssymmetrischen Querschnitten. Diese Unterrichtsaktivität liefert einen ergänzenden Vorschlag und beschäftigt sich mit der Volumenberechnung durch Integration über sogenannte Querschnittsflächenfunktionen. Auf diese Weise kann zum Beispiel die bekannte Volumenformel für Pyramiden begründet werden. Die einzelnen Arbeitsaufträge verbinden die Volumenformeln der Mittelstufe, das Arbeiten mit dem dreidimensionalen Koordinatensystem und die Integralrechnung. Somit ist die Aktivität z.B. besonders gut als vernetzende Aktivität zum Abschluss eines Unterrichtsvorhabens zur Integralrechnung geeignet.
Vorwissen und Voraussetzungen
Die Lernenden können ...
- Grundfunktionen von GeoGebra-3D-Rechner und GeoGebra-CAS nutzen (insb. Punkte erstellen, Nutzen von Schiebereglern, Ein- und Ausblenden von Objekten, Integral-Befehl).
- lineare und quadratische Terme und Funktionsgleichungen zu geometrischen Zusammenhängen aufstellen.
- Stammfunktionen und bestimmte Integrale über ganzrationale Funktionen mit Parametern (auch hilfsmittelfrei) ermitteln.
Beiträge zum Kompetenzerwerb
Die Lernenden ...
- interpretieren Parameter von Funktionen in geometrischen Kontexten
- interpretieren Produktsummen von Querschnittsflächen als Rekonstruktion des Volumen eines geometrischen Körpers
- erläutern und vollziehen am Beispiel der Bestimmung des Pyramidenvolumens den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs
- bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen
- Die Schülerinnen und Schüler verwenden digitale Werkzeuge zum ...
- zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
- Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales
- Erkunden, Berechnen und Darstellen geometrischer Situationen
Didaktische Hinweise
Aus inhaltlicher Perspektive bietet sich ein Einsatz dieses Materials zur zusammenfassenden Verbindung von 3D-Geometrie und Integralrechnung an.
Schieberegler
Vorstellung der einzelnen Aktivitäten
- Pyramiden in Scheiben
Alle Querschnitte sind Quadrate.
- Übung: Pyramidenschnitte erkunden (optional) Mögliche Lösung der Konstruktionsaufgabe https://www.geogebra.org/m/csqun34j
- Pyramidenvolumen am Beispiel Die Kantenlänge verändert sich linear von bis (z.B. Strahlensatz oder zentrische Streckung). Es gilt also . Damit ergibt sich für den Flächeninhalt die quadratische Funktion . Der Flächeninhalt hängt quadratisch von der sich linear ändernden Kantenlänge ab. Mit der Volumenformel erhält man . Für das Integral gilt ebenfalls. Als Erklärung für Justus' Überlegungen bietet sich ein Ausfüllen der Pyramide mit Quadern an, deren Höhe infinitesimal klein wird. Das Volumen wird - analog zur Untersumme - durch eine Produktsumme angenähert, die im Grenzfall zum Integral wird. Dies kann man z.B. mithilfe des Spurmodus visualisieren (siehe bspw. die Aktivität https://www.geogebra.org/m/a3jqzjku)
- Pyramidenvolumen allgemein
- Anregungen zum Weiterarbeiten (Anmerkungen zu den einzelnen Vorschlägen)
- Bei Vorschlag 1 (Von der Pyramide zum Kegel) hängt (analog zur Pyramide) der Durchmesser (Radius) linear von der Schnitthöhe ab. Die Schnittflächen sind Kreise. Die Integration wird also über durchgeführt.
- Bei Vorschlag 2 (Das Kugelvolumen) ändert sich der Radius nicht linear sondern (für die Halbkugel und nach dem Satz von Pythagoras) über die Funktion
- Bei Vorschlag 3 (Das Prinzip von Cavalieri) kann man beobachten, das zwei Körper, auf die das Prinzip anwendbar ist, die selbe Querschnittsflächenfunktion und die selbe Höhe besitzen. Damit stimmen auch die über das Integral berechneten Volumina überein. Die SuS könnten dafür z.B. eine GeoGebra-Datei zur Visualisierung erstellen.
- Beispiel für Vorschlag 4 (Umgekehrt gedacht für Profis - Von der Querschnittsflächenfunktion zum Körper): https://www.geogebra.org/m/vnkfzjcu
Methodische Hinweise
Idealerweise wechseln sich GeoGebra-Aktivitäten und Unterricht ohne das Werkzeug GeoGebra ab. Die ganze Aktivität ist nicht als reiner Selbstlernpfad angelegt. Um die GeoGebra-Aktivitäten im Klassen-Setting einzusetzen, bietet es sich an, sie als GeoGebra-Classroom-Aktivität (https://www.geogebra.org/m/vexj65n9) zu realisieren.
Credits
Das Konzept der Querschnittsflächenfunktionen ist aus Hoffmann (2018, S. 61 ff.) übernommen:
Hoffmann, M. (2018). Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis. Masterarbeit - Überarbeitete Version. Khdm-Report, 18–06. Zugriff: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hebis:34-2017110153692