Geraden 1/2
Aufgabe 1
a) Mache dich mit dem Koordinatensystem und den Schiebereglern vertraut, indem du die Regler c1, c2, c3 sowie u1, u2 und u3 veränderst.
b) Welchen Vektor von f verändern die Variablen c1, c2 und c3?
c) Welchen Vektor von f verändern die Variablen u1, u2 und u3?
d) Stelle nun die Schieberegler so ein, dass u1 = 1, u2 = 2, u3 = -1.
Stelle c1 = 2, c2 = 1, c3 = beliebig.
Was fällt dir in den Geradengleichungen von g und f auf? Was fällt dir im Koordinatensystem auf? (Tipp: Betrachte die Richtungsvektoren und deren Verhältnis zueinander)
Was ändert sich, jeweils im Koordinatensystem und in den Geradengleichungen, wenn du u3 auf 1 setzt? Was passiert mit dem Verhältnis der Richtungsvektoren?
Setze u3 zurück zu -1, sodass du Schiebregler wie bei Teilaufgabe d) hast.
e) Bewege den Schieberegler
tp_aram. Er ändert den Parameter t in der Geradengleichung von g und verschiebt damit die Position des Punktes L auf g. L kann somit die Koordinaten jedes beliebigen Punktes auf der Geraden g annehmen.
Liegt einer dieser Punkte L auf der Geraden f? Prüfe, indem du den Regler verschiebst.
Existiert ein Parameter , sodass L auf f liegt? Multipliziere hierfür die Werte u1, u2, u3 jeweils nacheinander mit 2 und ändere sie mithilfe der Schieberegler. Prüfe im Koordinatensystem, ob du nun L so verschieben kannst, dass er auf f liegt. Multipliziere die Werte u1, u2, u3 mit -1 und prüfe, ob sich nun etwas ändert.
Prüfe deine Vermutung, indem du L = f für ein festes aber beliebig gewähltes L nach auflöst. Ist das LGS lösbar? Aufgabe 2: Setze u1 = 1, u2 = 2, u3 = -1 sowie c1 = 2, c2 = 3, c3 = 1.
a) Was fällt dir bei den Geraden im Koordinatensystem auf? Vergleiche die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf ihre Vielfachheit.
Betrachte einen festen, beliebigen Punkt L auf der Geraden g.
Liegt dieser auf der Geraden f? Was passiert, wenn du L verschiebst? Liegt jeder mögliche Punkt L auf der Geraden f?
Prüfe durch Rechnung, indem du einen beliebigen Punkt L mit der Gerade f gleichsetzt und nach auflöst. Ist dieses LGS für jeden möglichen Punkt L lösbar?
b) Vergleiche die Lage der Geraden g und f aus Aufgaben 1 und 2 miteinander. Welche 2 der 4 Lagebeziehung von Geraden vermutest du hier? Charakterisiere diese, anhand der Vielfachheit ihrer Richtungsvektoren sowie dem Vorhandensein eines Parameters , sodass man das LGS L = f lösen kann. Erinnerung: L ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden g