Le soluzioni complesse delle equazioni di 2 grado

Autore:
F. Manzo
Una volta denotata con  l'unità immaginaria, possiamo scrivere il risultato della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado qualsiasi sia il segno del discriminante: . Se il discriminante è negativo, le radici sono numeri della forma p+iq, con p e q numeri reali. Ad es., Se , allora  prende il nome di "parte reale" e  è detto "parte immaginaria" del numero complesso z. Ogni numero complesso è dunque caratterizzato da due numeri reali. Nel foglio seguente, le radici dell'equazione  sono rappresentate nel piano complesso (piano di Gauss-Argand): la parte reale del numero complesso è rappresentata dalla sua ascissa, la parte immaginaria dalla sua ordinata.
Cambiando i valori dei coefficienti b e c, possiamo osservare come si muovono le radici  e  dell'equazione. Attiva la traccia dei punti  e . Qual'è il luogo di questi punti al variare di b? Riconosci il significato algebrico della somma  e del prodotto ? La simmetria tra  e  è evidente. Sono numeri del tipo  e , che differiscono cioè per il segno della parte immaginaria, detti "complessi coniugati". Il loro prodotto è . Questo numero rappresenta il quadrato del "modulo" del numero complesso (tanto di  che di ), definito come la lunghezza del segmento che collega il punto con l'origine, e si indica con il simbolo . Ti sei accorto che il modulo quadro di  è uguale a  che a sua volta è uguale a ? Ecco perchè, cambiando  e  si muovono su una circonferenza: hanno sempre distanza  dall'origine!