Euklidische Ebene
Erstaunlicherweise erweist sich die euklidische Ebene als Untergeometrie des Geradenraums als besonders störrisch: Die LIE-Algebra besteht aus allen Geradenvektoren der Tangentialebene von . Auf ist ausgeartet. Daher läßt sich der Geradenraum nicht auf einfache Weise in zwei duale reelle Unterräume zerlegen.
Isometrien sind Drehungen, Verschiebungen, Geradenspiegelungen und Gleitspieglungen.
Ein euklidisches Koordinatensystem der euklidischen Ebne ist invariant festgelegt nur durch den Punkt und "Drehungen" des Vektors.
Wie läßt sich damit eine Metrik, also konkret der "Abstand" zweier Punkte invariant definieren? Diese Metrik müßte als unabhängig von einer Transformation des euklidischen KOS sein.
Es seien zwei "Punkte" der euklidischen Ebene mit gegeben. Mit erhält man die Gauss-Koordinaten der Punkte.
Durch wird der Abstand zweier Punkte unabhängig von der komplexen Skalierung der Punkte und unabhängig von der Wahl des euklidischen KOS definiert.
Im obigen Applet werden die Werte mit Hilfe der komplexen Vektoren berechnet; sie stimmen mit den von GeoGebra berechneten Werten überein.
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