stelling van Pyhtagoras in Euclides' Elementen
Pythagoras in de Elementen
Een illustratie dat Euclides niet alleen 'nieuwe' wiskunde schrijft is dat hij 3 keer de stelling van Pythagoras opneemt: boek I, proposities 47 en 48 en boek VI, propositie 31.
Wij benaderen de stelling van Pythagoras rekenkundig:
Euclides kijkt er heel anders tegenaan. Hij vertrekt van één eigenschap van driehoeken:
De oppervlakte van een driehoek is niet afhankelijk van van de vorm, enkel van de basis en de hoogte.
Deze eigenschap past hij telkens opnieuw toe om te bewijzen dat de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
Dynamisch zit dit er in GeoGebra uit als volgt:
Bij Euclides wordt dit:
Boek I, propositie 47
omgekeerd bewijs
In boek I, propositie 48 draait Euclides de stelling om:
"Als het vierkant op een van de zijden van een driehoek gelijk is aan de som van de vierkanten op de andere zijden, dan is deze driehoek een rechthoekige driehoek
veralgemening
in Boek VI, propositie 31 veralgemeent Euclides de stelling van Pythagoras:
De som van oppervlaktes van gelijkvormige figuren op de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de oppervlakte van de figuur op de schuine zijde, gelijkvormig met de twee eerste figuren.
