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Von der Sekante zur Tangente (die Funktionenlupe)

Szerző:Herr Müller

Schritt 1 (Einstieg)

Eine der zentralen Fragen der sogenannten Differentialrechnung ist
Wie groß ist die Steigung an einer bestimmten Stelle des Funktionsgraphen?
Um diese Frage zu beantworten, wollen wir nach und nach den Funktionsgraphen von (in grün dargestellt) genauer untersuchen. Zunächst schauen wir uns den Punkt an und lassen diesen über den Funktionsgraph wandern, indem wir den Wert des Schiebereglers verändern. → Siehst du, wie sich der Bereichs rechts mit verändert? Hierbei handelt es sich um eine Vergrößerung des linken Bereichs.

Schritt 2 (zweiter Punkt und Sekante)

Als nächstes schauen wir uns eine Sekante durch die beiden Punkte und an, indem wir die Checkbox "Punkt Z und Sekante einblenden" aktivieren.
  1. Dir wird nun zusätzlich zum Punkt auch der Punkt sowie die Sekante (Strecke zwischen und ) dargestellt.
  2. Unterhalb des Schiebereglers werden dir außerdem die Koordinaten des Punkts angezeigt.

Aufgabe 1

Klicke diejenige Antwort an, die deiner Meinung nach zutrifft. "Wenn man den Punkt P (Schieberegler x_1) bewegt, ..."

Jelöld be válaszodat
  • A
  • B
Check my answer (3)

Aufgabe 2

Schaue nun etwas genauer hin: Wirf einen genauen Blick auf die Koordinaten der beiden Punkte und beschreibe genau, was dir dabei auffällt.

Ellenőrizze válaszát

Schritt 3 - Von der Sekante zur Tangente

Bewege den Punkt P erneut an die Stelle . Nutze hierzu den Schieberegler . Stelle außerdem den Schieberegler wieder auf den Wert 1.

Aufgabe 3

Verringere nach und nach den Wert von und wähle diejenigen Aussagen aus, welche deine Beobachtungen am besten beschreiben.

Jelöld be válaszodat
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
Check my answer (3)

Aufgabe 4

Sei der Punkt gegeben mit . Ein zweiter Punkt soll nun schrittweise näher zum den Punkt wandern. Vervollständige die nachfolgende Tabelle, indem du schrittweise den Funktionswert des Punkts sowie die Steigung der Sekante berechnest.
21,51,251,21,11,051,01


Hinweis: Die Lösung dieser Aufgabe besprechen wir anschließend gemeinsam im Plenum.

Aufgabe 5

Nachdem du die Tabelle vervollständigt hast, wollen wir nun die Ergebnisse interpretieren und eine Beobachtung schriftlich festhalten. Formuliere einen vollständigen Antwortsatz für die folgende Frage: "Welchem Wert nähert sich die Steigung der Sekante, wenn sich der Punkt dem Punkt nähert?"

Ellenőrizze válaszát

Schritt 4 - Das Problem mit der Näherung

Was vorhin so aussah, als näherte sich die Sekante dem Funktionsgraph, trifft auch zu. Das Problem an der Sache: Dies ist jedoch auch nur eine Näherung! Denn: Schaut man genauer hin, so sieht dies schon wieder etwas anders aus. → Und genau hier kommt die Funktionenlupe ins Spiel. Aktiviere dazu die Checkbox "Funktionenlupe einblenden". In beiden Bereichen (sowohl links als auch rechts) wird nun die Funktionenlupe. Im linken Bereich siehst du, wo sich diese gerade auf dem Graphen befindet. Der Bereich rechts zeigt dir eine vergrößerte Darstellung an.

Aufgabe 6

Stelle zunächst die Werte wieder wie folgt ein: Beide Werte - sowohl der Wert von als auch der Wert von sollten auf 1 stehen. Ändere nun abwechselnd die Werte: - verringere den Wert von und - erhöhe den Zoomfaktor . Vervollständige nun den folgenden Satz: "Je mehr man hinein zoomt, desto..."

Ellenőrizze válaszát

Aufgabe 7 - Die Quintessenz bzw. die Lösung des Problems

Formuliere nun eine Vorgehensweise, wie man dieses Problem beheben könnte. → Was müsste man tun, um die Steigung im Punkt P genau bestimmen zu können?

Ellenőrizze válaszát

Schritt 5 - Die Funktionenlupe

Schluss mit der Näherung - es braucht ein genaues Ergebnis! → Und genau hier kommen 1. die Funktionenlupe und 2. die Tangente ins Spiel.
  1. Reduziere den Zoom auf das Minimum (Schieberegler nach ganz links).
  2. Stelle den Wert von auf ein.
  3. Aktiviere nun die Checkbox "Tangente einblenden".
Zoome nun erneut hinein. Du solltest jetzt gut erkennen können, dass die Sekante (in blau) zwar eine gute Näherung darstellt, aber immer noch etwas Abstand zur Tangente (in rot) besteht. → Und genau diese Tangente - genauer gesagt die Steigung der Tangente - entspricht der Steigung im Punkt .
Und was heißt das jetzt für uns? → Ab sofort bestimmen wir Tangentensteigungen, wenn wir die Steigung in einem Punkt bestimmen wollen.

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