Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Satz Sei f eine stetige Funktion in [a; b] und differenzierbar in ]a; b[. Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in ]a; b[ mit oder Geometrische Interpretation Es gibt mindestens ein ξ aus ]a; b[ , sodass die Tangente an der Stelle ξ parallel zur Sekante durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)) ist. Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b. Aufgabe Verändere die Intervallgrenzen a und b so, dass eine zweite Stelle für ξ angezeigt wird.
Beweis Verschiebe den roten Punkt bei B so weit wie möglich nach unten. Für die Funktion gilt: h(a) = f(a) = h(b). Deshalb kann der Satz von Rolle angewendet werden: Es gibt ein ξ ∈ ]a; b[ mit h'(ξ) = 0, und daraus folgt die Behauptung .
Andreas Lindner