Gram-Schmidt-Verfahren ℝn und QR-Zerlegung
- Author:
- hawe
- Topic:
- Matrices
Siehe Grundlagen Gram-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren
Version für ℝ3 Einzelschritt-Verfahren
Siehe Gram-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren
Version für ℂn
Die gegebenen Basis-Vektoren sind zeilenweise in E hinterlegt.
Um Dim n>3 abbilden zu können werden die Vektoren als Listen geschrieben
(1,1,0) ==> {{1,1,0}} - siehe Beispiel!
O1...On entwicklen schrittweise die Orthogonalbasis. O1 wird direkt berechnet, da nur normiert werden muss. O2 und weitere Vektoren werden mit einer UserDef-Function gs() berechnet, die die letzte Basisversion verwendet:
On := gs(On-1).
Weitere orthogonale Basisvektoren ergänzen z.B. n=5 (Kopiervorlage)
O5:=Append(O4,Simplify(gs(O4)))
Beispiel:
===> E:={{1,1,0,0},{1,0,1,0},{0,1,0,1},{0,0,1,-1}}
===>
Beispiel:
===> E:={{1,1,0,1},{2,1,0,1},{2,1,0,3}}
===>
===> O4:=O3 (Übertrag für QR-Zerlegung)
Exkurs: QR-Zerlegung - Zeile 7 ff
Die QR-Zerlegung oder QR-Faktorisierung ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und Numerik. Man bezeichnet die Zerlegung einer Matrix A in das Produkt zweier Matrizen, wobei Q eine orthogonale () bzw. unitäre Matrix () und R eine obere Dreiecksmatrix ist. (7) QR-Zerlegung! Gibt es eine (11) LQ'-Zerlegung orthogalner Matrizen? Anwendung: ===> E:=Transpose(A) ===> ===> ===>