Integrali impropri in intervallo illimitato
DEFINIZIONE
Data una funzione continua nell'intervallo , si definisce integrale improprio nell'intervallo illimitato :
OSSERVAZIONE
- La definizione è analoga se l'intervallo è illimitato verso al . Nel caso di entrambi gli estremi infiniti, spezza l'integrale con la proprietà 5 o si valuta l'applicazione della proprietà 6 per funzioni simmetriche.
- Nel caso di entrambi gli estremi infiniti, spezza l'integrale con la proprietà 5 o si valuta l'applicazione della proprietà 6 per funzioni simmetriche.
DEFINIZIONE
Per l'integrale improprio vale il concetto di carattere, ovvero:
- se il limite esiste finito l'integrale improprio converge
- se il limite esiste ma non finito l'integrale improprio diverge
- se il limite non esiste l'integrale improprio è indeterminato.
ISTRUZIONI
- Si possono selezionare le diverse funzioni e visualizzare il grafico
- Con lo slider è possibile modificare l'ordine di infinitesimo/infinito delle due funzioni estreme
- Con la casella di controllo "Mostra area" è possibile visualizzare graficamente l'area interessata e al contempo il valore dell'integrale improprio a fianco della relativa funzione
- Con la casella di controllo "Mostra traccia f" è possibile mostrare/nascondere il grafico completo della funzione
STUDIO GRAFICO degli INTEGRALI IMPROPRI
CRITERIO di CONVERGENZA dell'INTEGRALE IMPROPRIO in INTERVALLO ILLIMITATO
Data una funzione continua nell'intervallo , l'integrale improprio nell'intervallo illimitato converge se la funzione, per , è un infinitesimo di ordine maggiore di 1, ovvero:
OSSERVAZIONE
- Il criterio di convergenza di integrali impropri in intervalli illimitati riprende le condizioni della convergenza della serie armonica generalizzata.
- Sempre in relazione a questo criterio si deduce che se la funzione non è un infinitesimo per , l'integrale improprio non converge.