M3.I.1 L Farbcodierung
Leitfrage zu Phase 1
Was ist ein Vektor und für was nutzt man ihn?
oder im Kontext: Wie lassen sich Bildinformationen codieren und speichern?
Vektoren sind n-Tupel (Arithmetische Auffassung)
Kern des Konzepts ist die Definition von Vektoren als n-Tupel. Vektoren sind arithmetische Objekte, eine geordnete Liste von Zahlen. Vektorpfeile und Vektorpunkte im Koordinatensystem sind geometrische Deutungen eines Vektors.
Verständnisanker rgb-Farbvektor (Arithmetische Auffassung)
Eingeführt werden Vektoren im Kontext des rgb-Farbmodells, das in TV und Computergrafik weit verbreitet ist. Ein rgb-Farbvektor beschreibt die Farbe (eines Pixels) als Farbtripel mit den Komponenten rot, grün und blau. Details dazu siehe unten.
Folgende Einschränkung weist der rgb-Farbraum als Kontext auf: es sind lediglich Werte 0...255 für die Komponenten möglich, deshalb müssen die Rechenoperationen modifiziert werden (Details s.u. Kontext). Mathematisch handelt es sich deshalb streng formal nicht um Vektoren, dennoch eignet sich der Kontext sehr gut, um die Struktur zu erkennen.
rgb-Komponenten als n-Tupel zur Beschreibung der Farbe eines Bildpunkts
M3.I.1a AB rgb-Farbmodell
führt die SuS in den Kontext ein. Sie erstellen mit einem Applet rgb-Vektoren für verschiedene Farben. Anschließend entdecken Sie, dass Grautöne in allen drei Farbkomponenten übereinstimmende Werte haben,
z.B. .
Im Kontext der Grauvektoren entdecken die SuS bereits die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl. Explizit wird dieses Rechenverfahren später von den SuS selbst definiert, nachdem sie Vektoren in weiteren Kontexten angewendet und so den Vektorbegriff gefestigt (und vom konkreten Kontext abstrahiert) haben.
M3.I.1a AB rgb-Farbmodell
führt die SuS in den Kontext ein. Sie erstellen mit einem Applet rgb-Vektoren für verschiedene Farben. Anschließend entdecken Sie, dass Grautöne in allen drei Farbkomponenten übereinstimmende Werte haben,
z.B. .
Im Kontext der Grauvektoren entdecken die SuS bereits die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl. Explizit wird dieses Rechenverfahren später von den SuS selbst definiert, nachdem sie Vektoren in weiteren Kontexten angewendet und so den Vektorbegriff gefestigt (und vom konkreten Kontext abstrahiert) haben.
Farbvektoren als Linearkombinationen von Grundfarben
M3.I.1b AB Farben mischen
stellt darauf aufbauend Farben explizit als Mischung der drei Grundfarben rot, grün und blau dar und verdeutlich diese Darstellung durch das Applet.
Zunächst sollen die SuS einen Farbvektor als Linearkombination der Grundfarbvektoren und ausdrücken.
Dabei werden Linearkombinationen eingeführt. Anschließend werden die Grundfarbvektoren als linear unabhängig erarbeitet und dieses Konzept auf andere Farbvektoren übertragen.
Hier wird im Kontext die Addition von Vektoren entdeckt, die ebenfalls nach der Abstraktion des Vektorbegriffs durch Anwendung in anderen Kontexten von den SuS explizit definiert wird.
M3.I.1c AB Linearkombinationen von Vektoren bestimmen
ist als Anleitung zur Lösung von Gleichungen zu Linearkombinationen mit CAS konzipiert und sollte dabei zumindest als Kontrolle der händischen Berechnung genutzt werden (noch besser ist diese gleich damit zu entlasten).
M3.I.1b AB Farben mischen
stellt darauf aufbauend Farben explizit als Mischung der drei Grundfarben rot, grün und blau dar und verdeutlich diese Darstellung durch das Applet.
Zunächst sollen die SuS einen Farbvektor als Linearkombination der Grundfarbvektoren und ausdrücken.
Dabei werden Linearkombinationen eingeführt. Anschließend werden die Grundfarbvektoren als linear unabhängig erarbeitet und dieses Konzept auf andere Farbvektoren übertragen.
Hier wird im Kontext die Addition von Vektoren entdeckt, die ebenfalls nach der Abstraktion des Vektorbegriffs durch Anwendung in anderen Kontexten von den SuS explizit definiert wird.
M3.I.1c AB Linearkombinationen von Vektoren bestimmen
ist als Anleitung zur Lösung von Gleichungen zu Linearkombinationen mit CAS konzipiert und sollte dabei zumindest als Kontrolle der händischen Berechnung genutzt werden (noch besser ist diese gleich damit zu entlasten).Weitere Kontexte
Eine problematische, häufige Fehlvorstellung zu Vektoren bezieht sich auf die Dimension, nach der Vektoren (höchstens oder genau) drei Komponenten besitzen.
Unbedingt sind deshalb weitere Beispiele bereits zu Beginn nötig, die Vektoren mit mehr als drei Komponenten zur Beschreibung unterschiedlicher Kontexte nutzen, einige Beispiele sind in
M3.I.1d AB Kekse, Mobilität, Instagram
enthalten.
Rechenvorschriften
Mit den Kontextwechseln sind Vektoren als n-Tupel soweit als Begriff eingeführt (und abstrahiert über einen konkreten Kontext hinaus), dass die SuS die beiden Rechenoperationen Addition von zwei Vektoren und Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl im M3.I.1d AB Kekse, Mobilität, Instagram aus den Kontexten heraus sinnvoll selbst ableiten und definieren können.
Für die Anknüpfung an Inhalte der Sek I in der ebenen Geometrie ist es auch unbedingt sinnvoll, Vektoren mit zwei Komponenten zu betrachten.
M3.I.1d AB Kekse, Mobilität, Instagram
enthalten.
Rechenvorschriften
Mit den Kontextwechseln sind Vektoren als n-Tupel soweit als Begriff eingeführt (und abstrahiert über einen konkreten Kontext hinaus), dass die SuS die beiden Rechenoperationen Addition von zwei Vektoren und Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl im M3.I.1d AB Kekse, Mobilität, Instagram aus den Kontexten heraus sinnvoll selbst ableiten und definieren können.
Für die Anknüpfung an Inhalte der Sek I in der ebenen Geometrie ist es auch unbedingt sinnvoll, Vektoren mit zwei Komponenten zu betrachten.
Details zum Kontext
In der Computergrafik ist das rgb-Farbmodell weit verbreitet. In diesem Modell können alle Farben aus den Grundfarben rot (r), grün (g) und blau (b) gemischt werden.
Das Modell gehört zu den additiven Farbmodellen, d. h. je mehr Anteile der drei Grundfarben zugegeben werden, desto heller ist die so gemischte Farbe. Dadurch unterscheidet sich das Modell vom Mischen von Farben auf weißem Papier. Wenn auf einem Blatt Papier Farben gemischt werden, ist das Ergebnis in der Regel dunkler, als die verwendeten Grundfarben. Am einfachsten kann man sich das Mischen von Farben im RGB-Modell so vorstellen: Drei Taschenlampen leuchten jeweils in den Farben, Rot, Grün und Blau. Richtet man nun den Lichtschein der Taschenlampen auf eine dunkle Wand und überschneiden sich die Lichtkegel der Taschenlampen, so ist dort eine hellere Farbe zu sehen. Dort wo alle drei Lichtkegel übereinander liegen, sieht man die Farbe Weiß. Man nennt die Farben im RGB-Modell auch Lichtfarben.
Da das Auge nicht beliebig kleine Farbabweichungen wahrnimmt, genügt es i. Allg., für jede Komponente 256 Werte zu unterscheiden. (Die Festlegung auf 256 Werte erfolgte, weil dadurch genau 8 Bit an Informationen für jede Komponente notwendig sind: .) Die Komponenten von Farbtripeln werden deshalb als natürliche Zahlen von 0 bis 255 für jedes darzustellende Pixel eines Bildes angegeben.
Dies führt beim Mischen von Farben oder auch bei Veränderung der Helligkeit zu der Schwierigkeit, wie Werte über 255 in einer (oder mehreren) Komponenten des Farbvektors behandelt werden.
Grundsätzlich gib es zwei Wege, die aber beide zu Fehlern führen:
- beim sog. Clamping werden die Werte einfach auf 255 begrenzt
- beim zyklischen Überlauf werden die Werte modulo 255 berechnezt .
Zeitbedarf
2-3h
Übung: Weitere Beispielkontexte für n-Tupel
Da Schulbücher Vektoren als Pfeilklassen definieren, finden sich dort wenig passende Aufgaben.
Auf der Webseite Math2Mind.com sind jedoch passende Aufgaben zu finden.
Auch geeignet: Elemente der Mathematik 2017 LK, S. 31 A. 2, S. 36 A. 1-3, S. 39, 40
Anm.: Die Schulbücher o-mathe, Elemente der Mathematik, Lambacher Schweizer und Fundamente der Mathematik nutzen in der analytischen Geometrie leider das Pfeilklassenmodell für Vektoren mit all seinen Problemen sowie vermeidbar komplexen Berechnungen und Veranschaulichungen (z.B. Ortsvektor). Nachdem diese Unterschiede mit den SuS besprochen wurden, können Übungen aus den Schulbüchern verwendet werden.