Metapoblaciones

Autor:
José Mª

Modelo simple

Consideremos una población que está dispersa en grupos o parcelas a lo largo y ancho de cierto territorio, que tiene capacidad para mantener hasta parcelas de la misma especie. En estas circunstancias, se define como la fracción de parcelas ocupadas sobre el total de las posibles: Extinción Cualquier parcela ocupada tiene una probabilidad de extinción, que denominaremos local porque solo se refiere a ese grupo en particular. Llamaremos a esta probabilidad (no es un nombre muy afortunado, ya...). Esta probabilidad de extinción solo tiene sentido si se define sobre un periodo de tiempo determinado, por ejemplo: Supongamos que están ocupadas parcelas y que cada una de ellas tiene una probabilidad de extinción a un año vista. ¿Cuántas parcelas ocupadas habrá el año que viene? Al ser un proceso aleatorio, no se puede decir exactamente: con un poco de suerte, todas seguirán ocupadas y, con muy mala suerte, todas se extinguirán. Pero sí podemos considerar qué número es el esperado: . Hemos utilizado como una frecuencia esperada, es decir, una tasa de cambio con el tiempo. Todos los modelos que verás en esta clase utilizan las probabilidades como tasas de cambio con respecto al tiempo. Veamos el negro futuro que le espera a esta metapoblación que actualmente tiene 224 parcelas ocupadas y el año que viene tendrá 206. ¿Cuánto durará esa especie hasta que se extinga regionalmente (es decir, en todo el territorio? El modelo diferencial es muy sencillo: y su resultado más fácil de adivinar:

Figura 1. Dinámica exponencial decreciente del número de parcelas ocupadas.

Colonización Para que el modelo esté completo hay que añadir el proceso mediante el que una parcela habitable acaba siendo ocupada realmente. Supongamos que en el caso anterior hay un total de 280 parcelas (de las que solo 224 estaban ocupadas) ¿cómo modelar la ocupación de las 56 parcelas habitables restantes? Imagina que es el viento es el que arrastra las semillas desde una zona cercana; si la densidad de semillas arrastradas sobre el territorio es constante, entonces la probabilidad de que una parcela en particular reciba una semilla es igualmente constante (Figura 2).

Figura 2. Lluvia de semillas sobre seis parcelas habitables (rectángulos).

Figura 2. Lluvia de semillas sobre seis parcelas habitables (rectángulos).
Tal como está la cosa, la probabilidad de que una parcela sea colonizada es .
Llamemos a la probabilidad de que alguna semilla arraigue en una parcela vacía. Al igual que , esta probabilidad se transforma en una tasa al convertirla en un modelo determinista. Así, al año siguiente aparecerán parcelas recién habitadas. Añadamos este efecto al anterior y tendremos la... Ecuación para el modelo simple Cuando incorporamos la colonización a la Figura 1, vemos qué pasa con la metapoblación:

Figura 3. Las parcelas ocupadas quedan en equilibrio: se extinguen tantas como nuevas se colonizan.

¡Aparece un estado estacionario!

Efectiviwonder. El futuro de la metapoblación ya no es tan fatídico cuando se añade el proceso de colonización. Ahora, el número de parcelas va cambiando hasta que se alcanza un estado estacionario donde las fuerzas de colonización y extinción están igualadas. Este valor se puede calcular igualando la ecuación diferencial a cero: que, en nuestro caso, vale como hemos comprobado experimentalmente en la simulación de la Figura 3. Ecuación general para el modelo simple En general, en vez del número de parcelas ocupadas absoluto se prefiere trabajar con la fracción de parcelas ocupadas , que da expresión más sencilla y se puede aplicar comparativamente para distintos tamaños de metapoblación: y, por tanto, la fracción en equilibrio queda como

Figura 4. Todo reunido, incluyendo los valores de colonización y extinción.