Punkte und Vektoren im Koordinatensystem
3D Koordinatensystem
Bislang haben wir uns mit Vektoren im Koordinatensystem mit zwei Achsen, der x- und y- Achse, beschäftigt. Dies genügt jedoch nicht, um zu beurteilen, ob sich die Fluglinien zweier Punkte im Himmel treffen. In folgender Grafik wird veranschaulicht, wie zwei Punkte von unten betrachtet im zweidimensionalen Koordinatensystem zu interpretieren sind.
Um Punkte im dreidimensionalen Raum anzugeben, benötigen wir jedoch eine dritte Achse, die z-Achse. Alle drei Achsen stehen paarweise senkrecht aufeinander. Wir beschriften sie wie folgt:
-Achse: "rote" Achse
-Achse: "grüne" Achse
-Achse: "blaue" Achse
Im folgenden Koordinatensystem sind die Positionen von Punkt und dargestellt und ihre jeweiligen Fluglinien als Geraden. Prüfen Sie durch bewegen des Koordinatensystems, ob sich ihre Flugbahnen treffen.
Punkte im Koordinatensystem
Ein Punkt hat die Koordinaten .
In schwarz ist der Pfad dargestellt, den man "laufen" muss, um zum Punkt zu gelangen: zuerst um Einheit in -Richtung, dann um Einheiten in -Richtung und anschliessend um Einheiten in -Richtung. Der Punkt hat somit die Koordinaten .
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte , und im nachstehenden Koordinatensystem. Notieren Sie Ihre Lösung in OneNote.
Aufgabe 2
Stellen Sie die Punkte bis mit Hilfe der Schieberegler dar.
Zur Kontrolle können Sie auf den blauen Kreis links des jeweiligen Punktes klicken.
(Hinweis: Falls der schwarze Pfad hängenbleibt: Rein- oder rauszoomen.)
Vektoren im Koordinatensystem
Von einem Punkt gelangt man zu einem Punkt indem man
- Einheiten in Richtung der -Achse,
- Einheiten in Richtung der -Achse,
- Einheiten in Richtung der -Achse
Dabei werden die Koordinaten bei einem Vektor untereinander geschrieben.
Beispiel
Wie bei einem Punkt, bei dem man im Ursprung startet, kann man nun von einem Punkt, hier , starten, und die Verschiebung um den Vektor wieder als Weg "ablaufen", um zu zu gelangen. Die ist mit der dünnen schwarzen Linie dargestellt.
Wir berechnen den Vektor :
Ortsvektoren
Der Verbindungsvektor zwischen dem Koordinatenursprung und einem Punkt hat folgende Koordinaten:
Der Vektor heisst Ortsvektor des Punktes . Der Punkt und sein Ortsvektor besitzen dieselben Koordinaten. Daher kann man die Koordinaten eines Punktes bestimmen, indem man die Koordinaten seines Ortsvektors berechnet. Der Verbindungsvektor zwischen den Punkten und ist als Differenz der Ortsvektoren von und darstellbar:
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die angegebenen Vektoren , und mit Hilfe der gegebenen Punkte. Notieren Sie Ihre Lösung in OneNote.
Super - Sie haben sich die Grundlagen zur Darstellung von Punkten und Vektoren im 3D-Koordinatensystem erarbeitet.
Als nächstes fragen wir uns: Wie lange ist ein solcher Vektor?
Sie können dazu im OneNote mit T2. Betrag eines Vektors fortfahren.