Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (Juli 2019)
"Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" ist ein Artikel von Walter WUNDERLICH (1938) betitelt, in welchem er nachweist, dass aus den doppelt-berührenden Kreisen einer bizirkularen Quartik Sechs-Eck-Gewebe erzeugt werden können. Siehe Literaturverzeichnis [WUNW]. Wir haben auch eine ältere Fassung der Beschäftigung mit diesem Thema in dieses book-Kapitel aufgenommen. Die wesentliche Idee für den Nachweis liegt in der Beobachtung, dass die Projektion eines einschaligen Hyperboloids auf eine Ebene ein Sechs-Eck-Gewebe aus Geraden und Kegelschnitten erzeugt: Bei der Projektion werden die erzeugenden Geraden auf Geraden projiziert; die Ebenen-Schnitte des Hyperboloids mit Ebenen durch zwei ihrer Punkte werden auf Kegelschnitte projiziert, siehe auch die Seite Hyperboloid-6-Eck. Walter WUNDERLICH legt die aus der Geradengeometrie bekannte "Netzprojektion" zugrunde: als Ergebnis erhält man ein Sechs-Eck-Netz aus Kreisen. In seinem Artikel werden Sechs-Eck-Netze für ein Cartesisches Oval vorgestellt (Fig. 1, 2): einer der Brennpunkte liegt in , siehe auch die Seiten Cartesisches Oval mit 6-Eck und Cartesisches Oval mit endlichem Kreis-6-Ecknetz. Wir wollen die Eigenschaften der 2-teiligen bizirkularen Quartiken und ihrer Sechs-Eck-Netze hier zusammenstellen: 2-teilige bizirkulare Quartiken erhält man für 4 konzyklische Brennpunkte. Diese und mit ihnen die Quartik besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise, einer davon ist imaginär. Mit Blick auf die MOEBIUS-Quadrik erhält man diese Kurven als zweiteiligen Schnitt mit einer 2.-ten Quadrik, siehe nächste Seite. Zu jedem dieser Symmetriekreise gibt es eine Schar von doppelt-berührenden Kreisen, welche die Quartik einhüllen. Die Quartik zerlegt die Ebene in zwei getrennte Gebiete, welche die Brennpunkte enthalten, einerseits und ein zusammenhängendes Gebiet "zwischen" den Quartik-Ästen andererseits. Wir nennen dieses 2. Gebiet kurz das "Innere" der Quartik. Das "Innere" wird in der Anschauung eigentlich zum Äußeren, wenn man den Scheitel S nach rechts über den Brennpunkt F hinaus bewegt! Ein Lob auf ge
gebra: es macht diese Konstruktionen mit!
Durch jeden Punkt P im Inneren der Quartik gehen genau 6 doppelt-berührende Kreise!
(**) Diese 6 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen erzeugen ein Sechs-Eck-6-Gewebe, d.h. je drei dieser Scharen erzeugen ein Sechs-Eck-Gewebe! Nebenbei: die Diagonalen dieser Netze gehören nicht zu den doppelt-berührenden Kreisen!
Zu jeder Symmetrie gehören 2 DB-Kreise durch P, diese beiden Kreise können sehr nahe beieinander liegen; bewegt man einen der beweglichen 6-Eck-Punkte, so können diese beiden Lösungen vertauscht werden, und das Sechs-Eck-Netz beginnt chaotisch zu werden! !!
(**) Nachtrag: Die Aussage (**) ist wahrscheinlich falsch. Zu den 4 Symmetrieen gibt es 3 Kreisscharen von doppelt-berührenden Kreisen im Inneren der Quartik. Durch jeden Punkt im Inneren gehen 2 der durch eine Symmetrie bestimmten doppelt-berührenden Kreise. Wählt man zu jeder dieser Symmtrieen einen der beiden Kreise aus, so erhält man ein 6-Eck-Netz. Es gibt also verschiedenen 6-Eck-Netze.
Konstruktion der DB-Kreise: Zu jeder Symmetrie, von der Symmetrie am Kreis durch die Brennpunkte abgesehen, gehört ein Leitkreis.
Dieser entsteht, wenn man einen der Brennpunkte auszeichnet (hier F) und diesen an den zur Symmetrie gehörenden doppelt-berührenden Kreisen spiegelt! Die Leitkreise sind orthogonal zum Kreis durch die Brennpunkte.
Zur jeder dieser Symmetrien gehören 2 Scheitelkreise. Mit Hilfe der Spiegelpunkte von F an diesen Scheitelkreisen kann man die Leitkreise konstruieren.
Mit Hilfe der Leitkreise kann man die DB-Kreise durch einen Punkt P konstruieren!
Und mit Hilfe eines Leitkreises, eines beweglichen Punktes auf diesem und den oben genannten Eigenschaften kann man einen DB-Kreis und einen Punkt der bizirkularen Quartik konstruieren. (Zumindest fast: die fehlenden Informationen werrden unten nachgeliefert!)
Die Quartik entsteht dann als Ortskurve mit 
- diese "Konstruktion" ist sicher keine puristische Konstruktion mit Zirkel und Lineal, aber Dank ge
gebra kann man diese schönen Kurven erfahrbar machen.
- Der Konstruktion zugrunde liegen die 4 konzyklischen Brennpunkte F,F',F'',F''' und ein Scheitelpunkt S.
gebrabooks über die moebiusebene.
Wir betrachten dieses Applet als eine Art Gesellenstück in ge
gebra.