Propositie 13
Als een rechte op een andere rechte staat, zijn de twee gevormde hoeken samen steeds gelijk aan twee rechte hoeken.
Inleiding
In propositie 13 begint Euclides voor het eerst over de som van hoeken. Wij zouden zeggen: Nevenhoeken zijn samen 180°. Maar omdat Euclides geen eenheden gebruikt, kan hij de grootte van een hoek enkel uitdrukken door die te vergelijken met een rechte hoek. Hij noemt de hoeken "gelijk aan twee rechte hoeken".
Euclides gebruikt hier een hulplijn om de stelling te bewijzen. Hij lost moeilijke problemen vaak op door een slimme hulplijn te trekken die de figuur herleidt tot iets wat hij al kent. Eén van de bekendste bewijzen met een hulplijn is die van de hoekensom van een driehoek. Dat bewijs kom je tegen in propositie 32.
Oude versie
Als een rechte lijn op een rechte lijn staat, maakt ze ofwel twee rechte hoeken, ofwel hoeken gelijk aan twee rechte hoeken.
De rechte lijn AB is geplaatst op de rechte lijn CD, en zo worden de hoeken CBA en ABD gevormd. Ik zeg dat de hoeken CBA en ABD ofwel twee rechte hoeken zijn, ofwel samen gelijk zijn aan twee rechte hoeken.
Als de hoek CBA gelijk is aan de hoek ABD, zijn het twee rechte hoeken. (def 10)
Zo niet, trek dan vanuit punt B een loodlijn BE op CD. (prop 11)
De hoeken CBE en EBD zijn dan twee rechte hoeken.
Omdat de hoek CBE gelijk is aan de twee hoeken CBA en ABE, voeg aan elk de hoek EBD toe. Dus zijn de hoeken CBE en EBD gelijk aan de drie hoeken CBA, ABE en EBD. (ai 2)
Omdat de hoek DBA gelijk is aan de twee hoeken DBE en EBA, voeg aan elk de hoek ABC toe. Dus zijn de hoeken DBA en ABC gelijk aan de drie hoeken DBE, EBA en ABC. (ai 2)
Maar de hoeken CBE en EBD werden ook bewezen gelijk te zijn aan diezelfde drie hoeken. Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde ding zijn ook gelijk aan elkaar. (ai 1)
Dus zijn de hoeken CBE en EBD ook gelijk aan de hoeken DBA en ABC. Maar de hoeken CBE en EBD zijn twee rechte hoeken. Dus zijn ook de hoeken DBA en ABC samen gelijk aan twee rechte hoeken.