1002 Függvényábrázolás a P modellen
- Szerző:
- Szilassi Lajos
Koordinátarendszer a P-modellen
A sugársorok-ciklusok témakörét kicsit továbbgondolva felvetődhet a kérdés, miként lehetne kialakítani egy olyan kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést, mint amit a Descartes-féle koordináta rendszer létesít az euklideszi sík és a valós számokból álló számpárok között.
Az imént láttunk két, egymásra merőleges számegyenest az ultrapárhuzamos sugársor és a hiperciklusok halmaza közötti kapcsolat elemzésekor. Az (x.y) valós számpár és az euklideszi sík pontjai közötti hozzárendelést Descartes úgy oldotta meg. hogy az X tengelynek megfelelő számegyenesen kijelölte az x valós számnak megfelelő Px pontot, ugyanígy az Y tengelyen az y-nak megfelelő Py pontot. Majd ezeken át az X ill. Y tengelyre merőleges egyeneseket állítva ezek metszéspontjaként kaptuk meg a Pxy pontot. Ez az út a hiperbolikus geometriában nem járható, ugyanis elég nagy x és y szám esetén a tengelyekre bocsátott merőlegesek nem fogják egymást metszeni.
Másik lehetőség az euklideszi geometriában az, hogy az x → Px hozzárendelést követően az X tengelyre merőlegesen állítjuk elő a Px kezdőpontú x-re merőleges számegyenest, amelyen kijelölhetjük a Pxy pontot.
A két megadás az euklideszi geometriában egyenértékű, az O, Px , Pxy Py téglalapnak - az euklideszi párhuzamossági axiómából következő - tulajdonságai miatt.
A P-modellen azonban csak ez az utóbbi a járható út. Így az azonos abszcisszájú (x értékű) pontok egy egyenesen, míg az azonos ordinátájú ( y értékű) pontok egy hipercikluson helyezkednek el.
Vajon van-e ettől különböző lehetőség? Olyan, az előzőtől lényegesen különböző (x,y) →Pxy hozzárendelés is létesíthető a P-modellen, amelyen mind az azonos abszcisszájú, mind az azonos ordinátájú pontok egy-egy a tengeleyktől x ill. y távolságú pontok mértani helyeként kapott hiperciklusok metszéspontjaként áll elő (az előzőtől nyilvánvalóan különböző Pxy pont.
Mindkét rendszerben megoldható az euklideszitől alaposan különböző képet mutató függvényábrázolás.
Az alábbi applet jellegéből adódóan sok számolást igényel, ezért a hálózaton keresztül alkalmazva a legtöbb esetben lassú. Emiatt nyomatékosan kérjük felhasználóinkat, hogy ha tehetik, töltsék le a saját gépükre, és offline üzemmódban futtassák a kapott ggb fájlt.
Elemzés
Az applet nyolc, bizonyára jól ismert, vagy könnyen lerajzolható függvény képét mutatja be ebben a kétféle - elég bizarr rajzokat eredményező - koordináta rendszerben. Azok az olvasóink, akik letöltik az appletet, ezeket a függvényeket könnyedén átírhatják más, érdekesnek ígérkező függvényre.
Figyeljük meg, az y=x függvény rajzát. Az könnyen észrevehető, hogy, ha az azonos ordinátájú pontok egy H-egyenesre illeszkednek, a függvény képe nem H-egyenes. Így amikor először hallottuk az iskolában azt a feladatot, hogy „rajzoljuk le a koordináta rendszerben az y =x egyenest”, akkor tulajdonképpen elfogadtuk az euklideszi párhuzamossági axiómát, ha nem is tudtunk róla. (az y=x függvényt kivéve a másik koordináta rendszerben sem lesz egy elsőfokú függvény képe egyenes.
Az viszont valóban érdekes megállapítás, hogy az y=x függvény rajza nem függ a távolságegység megválasztásától.
Valóban bizarr képeket kapunk a függvényeinkről? A koordináta rendszerünk origója közeli zoomolással ( ⊕,⊖ parancsok) nagyítsuk az alapkörünk sugarát a t távolság közel 50 szeresére.
Tudjuk, hogy a koordináta rendszerünk egész számainak megfelelő rács H-egyenesekből és hiperciklusokból - tehát körívekből - áll, ezeket azonban egyre inkább egyenes vonalaknak látjuk. Maguk a függvények pedig egyre inkább felveszik az ismert alakjukat. Még akkor is, ha a koordináta rendszer origóját kimozdítottuk az alapkör középpontjából.
Úgy is mondhatnánk, hogy ha a P modell alapkörének a sugara eléggé nagy, akkor épp úgy nem érzékeljük, hogy nem az euklideszi síkon, hanem a P-modellen dolgozunk, mint ahogy egy szobában nem érzékeljük, hogy egy gömb alakú bolygón élünk.
Ezek a messzire vezető gondolatok azonban már túlmutatnak a kitűzött feladatukon, a Bolyai geometria lényegének, legegyszerűbb fogalmainak a megismerésén.