Questão06 - ENQ 2020/1
- Autor:
- mmodesti
- Tópico:
- Geometria
Um poliedro é dito inscritível se existir uma esfera que passa por todos os seus vértices. Mostre que um prisma reto cuja base é um polígono regular é um poliedro inscritível.
A solução da questão consiste em argumentar que as bases do poliedro, dois polígonos são inscritíveis por dois círculos de mesmo raio e centro e OP. A seguir, toma-se o ponto tal que seja o ponto médio de .
Escrevendo os polígonos como e
Cada um dos triângulos , , serão todos triângulos retângulos congruentes pelo caso Cateto Cateto. E assim, é o centro da esfera que passa por todos os e .
No arquivo do geogebra abaixo, está a demonstração visual desse exercício, mas, montando os segmentos apenas com a base de baixo.
Incialmente foi feita uma lista (l1) com os pontos da base do polígono, dividindo a circunferência na quantidade desejada (n). Isso pode ser ajustado no controle deslizante n.
A seguir, o poliedro foi feito, com altura h (o segundo controle deslizante, que também pode ser ajustado).
Podem-se aqui, traçar as circunferências nas duas bases, utilizando 3 pontos dela.
Para facilitar a montagem, o poliedro .está centrado no eixo , permitindo marcar o ponto como
().
A seguir, foi criada outra lista, (l2) com os segmentos, ligando os vértices de l1 com o centro , formando os triângulos encontrados na prova da proposição.
Criou-se a esfera, usando como centro e o ponto (para que a esfera não "suma" ao diminuirmos a quantidade de vértices, utilizamos A que é fixo).
Perceba que ao alterar a altura, a esfera também se altera, mas continua existindo.
Ao alterar apenas o número de vértices, a esfera se mantém inalterada.