Integrais Impróprias

Author:Tarcis Teles

Topic:Differential Calculus, Integral Calculus

Integrais Impróprias - Noção Intuitiva

Integrais com intevalo de integração numérico, como por exemplo

, já sabemos calcular e compreendemos sua representação geométrica.

E se complicarmos um pouquinho, calculando integrais com um dos limites de integração sendo infinito, como resolveriamos essa bronca?

Na aula de hj aprenderemos a resolver e a enxergar problemas desse tipo. [math]\int_1^{\infty}\frac{2}{x^2}dx[/math] — E se complicarmos um pouquinho, calculando integrais com um dos limites de integração sendo infinito, como resolveriamos essa bronca? Na aula de hj aprenderemos a resolver e a enxergar problemas desse tipo.

Vamos partir de algo familiar e tentar chegar no problema em questão:

Intuição

Intuição de integral Imprópria

Observe que considerando um dos limites por uma variável t, temos:

avaliado entre 1 e t :

Logo para todo t, a integral é menor que 2. Ou seja, mesmo que t tenda ao infinito, ainda assim a área não é um valor infinito. Ela é exatamente

CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA

Se o limite existir, ou seja, for um número finito, dizemos que essa integral é convergente. Se ao calcularmos o limite encontramos o infinito negativo ou o infinito positivo, dizemos que essa integral imprópria é divergente. Por exemplo, veja a seguinte integral imprópria:

Divergência

A) Responda o exercício do Stewart, usando a planilha do GeoGebra

E se os dois limites de integração forem infinitos

Basta usarmos a propriedade que já conhecemos:

, geralmente usaremos c igual a 0. Vejamos no exemplo a seguir: Calcular

B) Verifique, usando o seu GeoGebra, quais das integrais impróprias abaixo, convergem. Para as integrais impróprias divergentes, utilize a Planilha GeoGebra. Para as integrais impróprias convergentes, utilize os comandos da Janela de Álgebra.

Select all that apply

Check my answer (3)

E se os integrandos forem descontínuos? Agora vamos ver mais esse tipo de integral imprópria.

Função descontínua em x=0

Logo, resolveremos da seguinte forma: Se f(x) é continua em [

) e possui uma descontinuidade infinita em b.

Se f(x) é continua em (

] e possui uma descontinuidade infinita em b.

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

C) Descubra qual a integral de f(x), usando o seu Geogebra, sabendo da descontinuidade num ponto em questão:

Em resumo

Abaixo, coloque os links das construções das alternativas A,B e C

Integrais Impróprias