Angulos centrales e inscritos
Dos tipos de ángulos que existen en los círculos son los ángulos centrales y los ángulos inscritos.
Angulos centrales
Un ángulo central es el ángulo formado entre dos radios como sus lados y el centro del círculo como su vértice. Veamos el ángulo central en la siguiente figura:
Angulo inscrito
Llamamos ángulo inscrito a cualquier ángulo formado por dos cuerdas, las cuales tengan un punto en común.
Es importante notar que una de las cuerdas puede ser el diámetro. El diámetro es un tipo de cuerda.
Teorema del ángulo central y ángulo inscrito (Como expuesto en Congruencia, Semejanza y Concurrencia del Dr Cáceres
Si dos ángulos inscritos en un círculo abren el mismo arco, entonces ellos son iguales y iguales a la mitad del ángulo central correspondiente. Es decir,
Demostración: Esta demostración se lleva a cabo en tres casos distintos.
Primer caso: Uno de los lados del ángulo inscrito pasa por el centro de la circunferencia.
Como el triángulo ABO es isósceles, entonces .
Además, como la medida del ángulo exterior de un triángulo es la suma de los otros dos ángulos no adyacentes, entonces
Segundo caso: El centro de la circunferencia es un punto interior del ángulo inscrito.
Sea BD el diámetro de la circunferencia que pasa por O y B. Sean y . Note que . Por el primer caso se tiene que y . Además, . Por lo tanto,
Tercer Caso: El centro de la circunferencia es un punto exterior del ángulo inscrito.
Sea BD el diámetro que pasa por O y B. Sean y . Note que . Además, por el Caso 1, se tiene que y .
Entonces:
Propiedades de ángulos en círculos
Un ángulo formado por la intersección de dos secantes es
Medida del ángulo central basado en el arco es
La medida de un ángulo inscrito a dos cuerdas es donde AB y CD son cuerdas.
Angulo semi-inscrito
Un ángulo es semi-inscrito si tiene su vértice en la circunferencia, uno de los lados es una tangente y el otro una secante.
Veamos el siguiente ángulo semi-inscrito
Teorema del ángulo semi-inscrito
Todo ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abre el mismo arco.
Demostración: Consideremos el ángulo semi-inscrito ABC en la circunferencia con centro en O y sea E en la circunferencia tal que BE es diámetro.
Como AB es tangente a EB se tiene que . Además el ángulo inscrito .
Además . Por lo tanto: