LR-Zerlegung mit Pivotsuche (vollständig/teilweise) R4

Hinweise
Generiere Zeilenumformungen (Gauß-Algorithmus) um A in eine rechte obere Dreiecksmatrix R zu überführen. Li Matrix für Zeilenadditionen die in A Spalte i 0en erzeugt.
==> LE(A,i): generiert Elementar-Matrizen für Spalte i ==> aki=0, k>i (0en Spalte i unterhalb aii) - setzt einen Gauß-Eliminationsschritt für eine Spalte i der Matrix A um - Zeilenoperation in Matrix Li = Product( LE(A,i) ) zusammengefasst! Pivotsuche(Zeilen- und Spaltentausch damit) aii = betragsgrößtes Element SPvt(A,i) suche Spalten-Pivot pi:=PivotZ(A,i), qi:=PivotS(A,i) vollständige Pivotsuche über Zeilen UND Spalten ab Zeile/Spalte i Pi=T(i ,pi ) - Zeilentausch-Matrizen für Zeile i <> Zeile pi (Pivot) (Multiplikation von Links) Qi=T(i ,qi ) - Spaltentausch-Matrizen Spalte i <> Spalte qi (Pivot) (Multiplikation von Rechts) Schalter für Pivot-Wahl Pivot:= (2 Zeilen/Spalten-Pivot), (1 Spalten-Pivot), ( 0 ohne Pivot-Suche - T(i,ki)=Einheitsmatrix ) Wenn ein Pivot abgewählt wird werden die entsprechenden Tauschmatrizen T(i,ki) zur Einheitsmatrix. (3)...(9) User-Funktionen für Elementarmatrizen und Pivotsuche Die Zeilentausch-Matrizen Pi=T(i,pi) und Spaltentausch-Matrizen Qi=T(i,qi) sind Selbstinvers T(i, j) T(i, j) = En! Wenn R berechnet ist, muss ein Abgleich der Zeilen/Spalten-Austausche eingefügt werden, damit die Zeilen/Spaltenabfolge in L R zu A passt: R= L3 || P3 L2 P3 || P3 P2 L1 P2 P3 || P3 P2 P1 || A || Q1 Q2 Q3 = R= L3 || L2 || L1 || P || A || Q In Fettschrift ausgezeichnet die selbstinversen Einsätze der Tauschmatrizen um die Zeilenoperationen an den Zwischenschritten Ai in Zeilen/Spalten-Korrekt zusammen zu fassen in Li. Insbesondere sind die Tauschmatrizen und P,Q orthogonale Matrizen, d.h. die Inverse=Transponiert: P-1= PT bzw. Q-1= QT !

ElementarMatrizen LR-AllPivotMx

A:={{1, 3, -1 },{2, 5, -1 }, {-1, -6, 3 }} ggf. wollen Sie auf die Pivotsuchfunktionen verzichten und die Pivotauswahl pi,qi von Hand setzen z.B. P1:=T(1,2),Q1:=T(1,4). A x = b ===> L R = P A ===> P A x = P b ===> L R x = P b
LR Zerlegung mit Spaltenpivot R3LR Zerlegung mit Totalpivot R3
p1:=SPvt(A,1) A1:= T(1,p1) A L1:=Product(LE(A1,1)) A2:=L1 T(1, p1) A p2:=SPvt(A2,2) L2:=Product(LE( T(2,p2) A2 ,2)) R:=(L2 T(2, p2) L1) (T(1, p1) A) "L2 || T(2, p2) L1 T(2, p2) || T(2, p2) T(1, p1) A" L:=L2 (T(2, p2) L1 T(2,p2))^-1 P:= T(2, p2) T(1, p1) p1:=PivotZ(A, 1) || q1:=PivotS(A,1) A1:= T(1,p1) A T(1,q1) L1:=Product(LE(A1,1)) A2:=L1 T(1,p1) A T(1,q1) p2:=PivotZ(A2, 2) || q2:=PivotS(A2,2) L2:=Product(LE( T(2,p2) A2 T(2,q2),2 )) R:=L2 T(2,p2) L1 T(1,p1) A T(1,q1) T(2,q2) L:=(L2 T(2,p2) L1 T(2,p2))^-1 P:=T(2,p2) T(1,p1) Q:=T(1,q1) T(2,q2) 
L R x = P b L R Q^T x = P b 
L y = P b R x = y L y =P b  R QT x = y 
--- a(i,k):=Sum(Element(L, i, j) Element(R, j,k) , j,1,k) ---