LR-Zerlegung mit Pivotsuche (vollständig/teilweise) R4
- Autor:
- Hans W. Hofmann
- Thema:
- Lineare Gleichungen, Matrizen
Hinweise
==>
LE(A,i): generiert Elementar-Matrizen für Spalte i ==> aki=0, k>i (0en Spalte i unterhalb aii)
- setzt einen Gauß-Eliminationsschritt für eine Spalte i der Matrix A um -
Zeilenoperation in Matrix Li = Product( LE(A,i) ) zusammengefasst!
Pivotsuche(Zeilen- und Spaltentausch damit) aii = betragsgrößtes Element
SPvt(A,i) suche Spalten-Pivot
pi:=PivotZ(A,i), qi:=PivotS(A,i) vollständige Pivotsuche über Zeilen UND Spalten ab Zeile/Spalte i
Pi=T(i ,pi ) - Zeilentausch-Matrizen für Zeile i <> Zeile pi (Pivot) (Multiplikation von Links)
Qi=T(i ,qi ) - Spaltentausch-Matrizen Spalte i <> Spalte qi (Pivot) (Multiplikation von Rechts)
Schalter für Pivot-Wahl
Pivot:= (2 Zeilen/Spalten-Pivot), (1 Spalten-Pivot), ( 0 ohne Pivot-Suche - T(i,ki)=Einheitsmatrix )
Wenn ein Pivot abgewählt wird werden die entsprechenden Tauschmatrizen T(i,ki) zur Einheitsmatrix.
(3)...(9) User-Funktionen für Elementarmatrizen und Pivotsuche
Die Zeilentausch-Matrizen Pi=T(i,pi) und Spaltentausch-Matrizen Qi=T(i,qi) sind Selbstinvers T(i, j) T(i, j) = En! Wenn R berechnet ist, muss ein Abgleich der Zeilen/Spalten-Austausche eingefügt werden, damit die Zeilen/Spaltenabfolge in L R zu A passt:
R= L3 || P3 L2 P3 || P3 P2 L1 P2 P3 || P3 P2 P1 || A || Q1 Q2 Q3 =
R= L3 || L2 || L1 || P || A || Q
In Fettschrift ausgezeichnet die selbstinversen Einsätze der Tauschmatrizen um die Zeilenoperationen an den Zwischenschritten Ai in Zeilen/Spalten-Korrekt zusammen zu fassen in Li. Insbesondere sind die Tauschmatrizen und P,Q orthogonale Matrizen, d.h. die Inverse=Transponiert: P-1= PT bzw. Q-1= QT !
| | Generiere Zeilenumformungen (Gauß-Algorithmus) um A in eine rechte obere Dreiecksmatrix R zu überführen. Li Matrix für Zeilenadditionen die in A Spalte i 0en erzeugt. |
ElementarMatrizen LR-AllPivotMx
A:={{1, 3, -1 },{2, 5, -1 }, {-1, -6, 3 }}
ggf. wollen Sie auf die Pivotsuchfunktionen verzichten und die Pivotauswahl pi,qi von Hand setzen z.B. P1:=T(1,2),Q1:=T(1,4).
A x = b ===> L R = P A ===> P A x = P b ===> L R x = P b
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a(i,k):=Sum(Element(L, i, j) Element(R, j,k) , j,1,k)
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| LR Zerlegung mit Spaltenpivot R3 | LR Zerlegung mit Totalpivot R3 | |
p1:=SPvt(A,1)
A1:= T(1,p1) A
L1:=Product(LE(A1,1))
A2:=L1 T(1, p1) A
p2:=SPvt(A2,2)
L2:=Product(LE( T(2,p2) A2 ,2))
R:=(L2 T(2, p2) L1) (T(1, p1) A)
"L2 || T(2, p2) L1 T(2, p2) || T(2, p2) T(1, p1) A"
L:=L2 (T(2, p2) L1 T(2,p2))^-1
P:= T(2, p2) T(1, p1)
| p1:=PivotZ(A, 1) || q1:=PivotS(A,1)
A1:= T(1,p1) A T(1,q1)
L1:=Product(LE(A1,1))
A2:=L1 T(1,p1) A T(1,q1)
p2:=PivotZ(A2, 2) || q2:=PivotS(A2,2)
L2:=Product(LE( T(2,p2) A2 T(2,q2),2 ))
R:=L2 T(2,p2) L1 T(1,p1) A T(1,q1) T(2,q2)
L:=(L2 T(2,p2) L1 T(2,p2))^-1
P:=T(2,p2) T(1,p1)
Q:=T(1,q1) T(2,q2)
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L R x = P b
| L R Q^T x = P b
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| L y = P b R x = y | L y =P b R QT x = y | |
