Applicazioni: il valore medio di una funzione
Un'importante applicazione della teoria degli integrali definiti, ed in particolare del Teorema della media integrale, è il calcolo del valore medio di una funzione su un certo intervallo.
Il concetto della prima parte del Teorema della media integrale è ripreso nell'immagine qui sotto
![[size=85]Il teorema della media integrale afferma data una funzione continua in un intervallo (nell'esempio [math]\left[1,3\right][/math]), è possibile trovare un valore medio [math]y_M[/math] tale per cui [color=#38761d][b]l'area sottesa alla funzione originale[/b][/color] sia uguale a quella del rettangolo in figura, cioè [color=#0000ff][b]quella sottesa alla funzione costante [/b][/color][math]\textcolor{blue}{y=y_M}[/math].
[la tesi del teorema in realtà è più complessa: afferma che il valore medio [math]y_M[/math] può sempre essere visto come risultato della funzione di un certo input [math]x_M[/math] preso nell'intervallo considerato. Nell'esempio afferma cioè che [math]\exists x_M \in [1,3]\quad |\quad y_M=f(x_M)[/math]. Questo secondo aspetto del teorema, che è quello ESSENZIALE per poter dimostrare il teorema Fondamentale del calcolo integrale, non ci interessa però in questa sede].[/size]](https://www.geogebra.org/resource/ggqey5pd/lHzDnLjloQFHRNFq/material-ggqey5pd.png)
AREE E VELOCITÁ: IL VALORE MEDIO COME VALORE COSTANTE EQUIVALENTE
Il discorso puramente geometrico ribadito nella didascalia della figura potrebbe essere messo in connessione al concetto di valor medio dicendo che è l'altezza media del grafico della funzione nell'intervallo considerato.
Proviamo ad andare oltre: al posto della funzione , che nell'intervallo cambia in continuazione valore, possiamo considerare una funzione che fornisce costantemente lo stesso valore che ha lo stesso effetto complessivo, dove l'effetto complessivo in questo caso è l'area sottesa.
Ricordiamo che nei primi esempi che abbiamo preso per parlare di integrali definiti avevamo il grafico della velocità, e che l'area sottesa ci forniva lo spazio percorso. Considerando questo esempio particolare possiamo rileggere l'immagine sopra in questo modo: al posto di una funzione che descrive un moto in cui la velocità cambia continuamente, possiamo costruirne un'altra che descrive un corpo che si muove con velocità costante pari a , e che percorre lo stesso spazio complessivo in quel dato intervallo di tempo.
Non è forse questo il significato di media? Un valore costante che "riassume" il comportamento variegato di un fenomeno: la velocità media è quella a cui mi dovrei muovere per viaggiare sempre alla stessa velocità ed ottenere lo stesso spazio.
L'UNICA MEDIA CHE CONTA PER LO STUDENTE
Per ricollegarci al significato più comune di media fra più valori, prendiamo l'esempio che tutti gli studenti associano all'idea di media. Se prendo i seguenti voti: quando faccio la media trovo:
che vuol dire: al posto di prendere i miei quattro voti diversi uno dall'altro è come se avessi preso costantemente in ogni prova. In ogni caso avrei preso un punteggio complessivo di punti. Fare la media è come sommare tutti i punti ottenuti e ridistribuirli in parti uguali, così come
- calcolare la velocità media è fare lo spazio totale e distribuirlo in modo uniforme nell'intervallo di tempo in cui lo si deve percorrere;
- calcolare l'altezza media è calcolare l'area totale e distribuirla uniformemente lungo la base su cui deve giacere.
Qui sotto trovi il primo applet utilizzato nel video. L'interruttore rosso ti permette di muoverti tra la visualizzazione a rettangoli e quella del singolo contributo "puntiforme" della funzione, di cui l'integrale calcola la media.